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Indice VIX, Volatilità, Modelli e Analisi Empirica

Premessa

Capitolo 1 Volatilità e indice VIX

Cause di volatilità

1.1. Caratteristiche della volatilità

1.2.1 Distribuzione leptocurtica

1.2.2 Persistenza

1.2.3 Ritorno in media della volatilità

1.2.4 L'impatto asimmetrico dell'innovazione sulla volatilità

1.2.5 Le variabili Esogene

1.3 La volatilità in finanza comportamentale

1.4 Volatilità: valutazioni delle opzioni del modello Black & Sholes

1.4.1 L'effetto Smile

1.5 CBOE Volatitily Index

1.5.1 la formula usata per il calcolo del VIX

1.5.2 Il calcolo del VIX: un esempio empirico

1.5.3 Il "Nuovo" e il "vecchio" VIX: le differenze

1.5.4 Il VIX come indicatore di "paura"

1.5.5 La correlazione tra il VIX e l'indice S&P500

1.5.6 Il VIX come indicatore della direzione del mercato

Capitolo II:letteratura e Modelli per il calcolo della volatilità

2.1 il rendimento finanziario

2.1.1 La media del rendimento

2.1.2 La varianza del rendimento

2.1.2 La letteratura interressata allo studio della volatilità

2.2.1 L'importanza del VIX nelle previsioni

2.3 Modelli per la volatilità

2.3.1 Modello ARCH Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity

2.3.2 Modello GARCH- Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity

2.3.3 Modelli asimmetrici

2.3.4 Threshold GARCH-TGARCH

2.3.5 Exponential GARCH-EGARCH

Capitolo III Analisi Empirica

3.1 L'importanza dell'S&P500

3.2 Dati

3.2.1 Analisi Descrittive

3.3 Procedimento

3.4 Modello per la Media Condizionata

3.4.1 Regressione Linere dei rendimenti su diversi intervalli Temporali

3.5 Modello per la Varianza

3.5.1 Variabili Esogene Considerate

3.5.2 Modelli Stimati

3.5.3 Effetto VIX e VIX2 Congiunto

3.5.4 Robustezza del Modello Scelto

3.6 Le Previsioni

3.6.1 Previsione EX-Post Dinamiche

3.6.2 L'Errore di Previsione

3.6.3 Correttezza Negli Errori

3.6.4 Test Sulla Sistematicità dei Segni Delle Previsioni

3.6.5 Test di Stabilità della Varianza

3.7 Previsori Alternativi: Un confronto

3.7.1 Confronto con un Modello RW

3.8 Test Non Parametrici

3.8 Test dei Sogni

3.8.2 Test dei Ranghi

3.9 Accuracy Trend

3.10 Confronto con un Modello che non considera il VIX

3.11 Matrice di Confusione

Conclusioni.

Riferimenti bibliografici

Indice VIX, Volatilità, Modelli e Analisi Empirica

Modelli Stimati

La procedura di stima parte sempre da modelli più semplici consideranto il numero più basso di ritardi: si inizia dal modello ARCH(1) per poi stimare un GARCH(1,1) e un TGARCH(1,1), inserendo le variabili VIXt-1, log(VIX)t-1 e VIX2t-1 come segue:

ARCH(1)+ VIXt-1 ARCH(1)+ log(VIX)t-1 ARCH(1)+ VIX2t-1 ARCH(1)+ VIXt-1+ log(VIX)t-1 ARCH(1)+ VIXt-1+ VIX2t-1

GARCH(1,1)+ VIXt-1 GARCH(1,1)+ log(VIX)t-1 GARCH(1,1)+ VIX2t-1 GARCH(1,1)+ VIXt-1+ log(VIX)t-1 GARCH(1,1)+ VIXt-1+ VIX2t-1

TGARCH(1,1)+ VIXt-1 TGARCH(1,1)+ log(VIX)t-1 TGARCH(1,1)+ VIX2t-1 TGARCH(1,1)+ VIXt-1+ log(VIX)t-1

TGARCH(1,1)+ VIXt-1+ VIX2t-1

Per testare la significatività dei modelli si utilizzano 3 informazioni di stima:

1- La probabilità dei coefficienti: per ogni variabile inserita nel modello (sia endogena che esogena) l’output di stima calcola un peso, o coefficiente, attribuito ad ogni variabile, allo stesso tempo ad ogni coefficiente è associata una probabilità che informa se il vaole stimato è accettato oppure no. Con una probabilità maggiore del 5% (P>0,05) non si accetta la significatività dei coefficienti stimati dal modello, al contratio se questa probabilità è minore del 5% i coefficienti stimati sono accettati dal modello.

2-Test per valutare l’ipotesi nulla di omoschedasticità della componente stocastica (test ARCH LM, Engle 1982). Si assume di avere eteroschedasticità nei residui, distribuiti come un autoregressivo di ordine p:

f

in modo che la dimensione dei residui correnti, al quadrato, è collegata a quella dei residui passati. La particolare specificazione scelta per l’eteroschedasticità è motivata dall’osservazione che per dati economici molto spesso la dimensione dei residui correnti appare correlata con la dimensione dei residui più recenti. Una volta specificato il valore p per valutare l’ipotesi di omoschedasticità:

f

si considera la regressione di f sui suoi ritardi e si determina la statistica test LM=TR2, che si distribuisce come un f. Anche in questo caso con probabilità maggiore del 5% non rifiuto l’ipotesi nulla.

3-Correlogrammi della statistica Q di Ljung e Box:

f

Dove f è la j-esima autocorrelazione, T il numero di osservazioni. La statistica f è utilizzata per valutare che, nella serie degli errori della stima del modello, tutte le f autocorrelazioni siano nulle. L’ipotesi nulla è quindi che fsi distribuisca come un fcon fgradi di libertà, quindi tale ipotesi non è accettata con una probabilità maggiore del 5%, in questo caso si può affermare che non vi è più correlazione fra i residui.

Se tutte queste condizioni vengono soddisfatte si può ritenere di aver stimato un buon modello.

Modello ARCH(1)à

MODELLO

VARIABILI ESOGENE

SIGNIFICATIVITA’ COEFFICIENTI

H0 DI OMOSCHEDASTICITA’

RESIDUI INCORRELATI

ARCH(1)

VIXt-1

Non accettata

P=0,3353

Accetta H0

P=0,832925

INCORRELATI

ARCH(1)

log(VIX)t-1

ACCETTATI

Accetta H0

P=0,505928

CORRELATI

ARCH(1)

VIX2t-1

ACCETTATI

Accetta H0

P=0,498849

INCORRELATI

ARCH(1)

VIXt-1 log(VIX)t-1

ACCETTATI

Accetta H0

P=0,382114

INCORRELATI

ARCH(1)

VIXt-1 VIX2t-1

ACCETTATI

Accetta H0

P=0,312988

INCORRELATI

Figura 32: Significatività modello ARCH(1)

Modello GARCH(1,1)à

MODELLO

VARIABILI ESOGENE

SIGNIFICATIVITA’ COEFFICIENTI

H0 DI OMOSCHEDASTICITA’

RESIDUI INCORRELATI

GARCH(1,1)

VIXt-1

ACCETTATI

Rifiuta H0

P=0,012470

INCORRELATI

GARCH(1,1)

log(VIX)t-1

ACCETTATI

Rifiuta H0

P=0,011732

INCORRELATI

GARCH(1,1)

VIX2t-1

Non accettata f

P=0,3126

Accetta H0

P=0,419445

INCORRELATI

GARCH(1,1)

VIXt-1 log(VIX)t-1

ACCETTATI

Rifiuta H0

P=0,033227

INCORRELATI

GARCH(1,1)

VIXt-1 VIX2t-1

Non accettata f

P=0,9749

Accetta H0

P=0,309732

INCORRELATI

Figura 33: Significatività modello GARCH(1,1)

Modello TGARCH(1,1) à

MODELLO

VARIABILI ESOGENE

SIGNIFICATIVITA’ COEFFICIENTI

H0 DI OMOSCHEDASTICITA’

RESIDUI INCORRELATI

TGARCH(1,1)

VIXt-1

ACCETTATI

Rifiuta H0

P=0,005540

INCORRELATI

TGARCH(1,1)

log(VIX)t-1

ACCETTATI

Rifiuta H0

P=0,005190

INCORRELATI

TGARCH(1,1)

VIX2t-1

Non accettata

P=0,1120

Rifiuta H0

P=0,008181

INCORRELATI

TGARCH(1,1)

VIXt-1 log(VIX)t-1

ACCETTATI

Rifiuta H0

P=0,007275

INCORRELATI

TGARCH(1,1)

VIXt-1 VIX2t-1

ACCETTATI

Rifiuta H0

P=0,006463

INCORRELATI

Figura 34: Significatività modello TGARCH(1,1)

Dalle stime dei modelli solamente 3 rispettano tutte le condizioni di significatività:

  • f
  • f
  • f

  Per verificare quale di questi modelli è il migliore è opportuno osservare il loro punteggio AIC (Akaike info criterion):

MODELLO

AIC

ARCH(1)+ VIXt-1+ VIX2t-1

-6,422654

ARCH(1)+ VIX2t-1

-6,418318

ARCH(1)+ VIXt-1+ log(VIX)t-1

-6,413861

Figura 35: Modelli con migliore punteggio AIC

Sono stati stimati altri modelli aumentando il numero di ritardi: ARCH(2), GARCH(2,1), TGARCH(2,1), GARCH(2,2) e TGARCH(2,2), ma nessuno di questi accettava le 3 condizioni di significatività contemporaneamente, inoltre è sempre opportuno scegliere specificazioni più semplici del modello.

Mirko Cavallaro

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