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Indice VIX, Volatilità, Modelli e Analisi Empirica

Premessa

Capitolo 1 Volatilità e indice VIX

Cause di volatilità

1.1. Caratteristiche della volatilità

1.2.1 Distribuzione leptocurtica

1.2.2 Persistenza

1.2.3 Ritorno in media della volatilità

1.2.4 L'impatto asimmetrico dell'innovazione sulla volatilità

1.2.5 Le variabili Esogene

1.3 La volatilità in finanza comportamentale

1.4 Volatilità: valutazioni delle opzioni del modello Black & Sholes

1.4.1 L'effetto Smile

1.5 CBOE Volatitily Index

1.5.1 la formula usata per il calcolo del VIX

1.5.2 Il calcolo del VIX: un esempio empirico

1.5.3 Il "Nuovo" e il "vecchio" VIX: le differenze

1.5.4 Il VIX come indicatore di "paura"

1.5.5 La correlazione tra il VIX e l'indice S&P500

1.5.6 Il VIX come indicatore della direzione del mercato

Capitolo II:letteratura e Modelli per il calcolo della volatilità

2.1 il rendimento finanziario

2.1.1 La media del rendimento

2.1.2 La varianza del rendimento

2.1.2 La letteratura interressata allo studio della volatilità

2.2.1 L'importanza del VIX nelle previsioni

2.3 Modelli per la volatilità

2.3.1 Modello ARCH Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity

2.3.2 Modello GARCH- Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity

2.3.3 Modelli asimmetrici

2.3.4 Threshold GARCH-TGARCH

2.3.5 Exponential GARCH-EGARCH

Capitolo III Analisi Empirica

3.1 L'importanza dell'S&P500

3.2 Dati

3.2.1 Analisi Descrittive

3.3 Procedimento

3.4 Modello per la Media Condizionata

3.4.1 Regressione Linere dei rendimenti su diversi intervalli Temporali

3.5 Modello per la Varianza

3.5.1 Variabili Esogene Considerate

3.5.2 Modelli Stimati

3.5.3 Effetto VIX e VIX2 Congiunto

3.5.4 Robustezza del Modello Scelto

3.6 Le Previsioni

3.6.1 Previsione EX-Post Dinamiche

3.6.2 L'Errore di Previsione

3.6.3 Correttezza Negli Errori

3.6.4 Test Sulla Sistematicità dei Segni Delle Previsioni

3.6.5 Test di Stabilità della Varianza

3.7 Previsori Alternativi: Un confronto

3.7.1 Confronto con un Modello RW

3.8 Test Non Parametrici

3.8 Test dei Sogni

3.8.2 Test dei Ranghi

3.9 Accuracy Trend

3.10 Confronto con un Modello che non considera il VIX

3.11 Matrice di Confusione

Conclusioni.

Riferimenti bibliografici

Indice VIX, Volatilità, Modelli e Analisi Empirica

La letteratura interressata allo studio della volatilità

La ricerca e l’analisi di relazioni tra la volatilità dei prezzi e la volatilità implicita è stata ed è tutt’oggi al centro di grande attenzione da parte degli studiosi di econometria, finanza e statistica: articoli riguardanti questa applicazione sono stati affrontati da diversi autori In questa parte si vuole illustrare le variabili e i modelli interessati a questo tipo di studio: la vasta letteratura sul tema si caratterizza da un lato per il tentativo più o meno esplicito di spiegare e prevedere la volatilità sfruttando le informazioni sui rendimenti, dall’altro per il fatto di dedurre i modelli partendo da teorie economico finanziarie relative ai comportamenti di mercato.

La maggior parte degli studi sulla volatilità si concentrano sull’indice S&P500, sottolineando la sua importanza a livello mondiale come indice di riferimento dell’economia, per spiegare la volatilità vengono introdotte diverse variabili che possano influenzarla, e spesso viene portato in primo piano nell’analisi il VIX. Ad esempio Degiannakis e Floros (2010), utilizzano S&P500 e il VIX al quadrato,  dal 1990 al 2003, cercando un buon modello per spiegare la volatilità in modo da fare una migliore previsione: i modelli proposti sono GARCH, TGARCH e HYGARCH (tenendo conto dell’effetto asimmetrico della volatilità) tutti stimati a 1 solo ritardo:

1)f 2) f 3) f

Secondo Blair, Poon e Taylor (2000), considerando rendimenti giornalieri dell’S&P100, e come variabili esogene per il modello dati VIX giornalieri al quadrato e rendimenti INTRADAY a 5 minuti dell’S&P100, dal 2 gennaio 1987 al 31 dicembre 1992 (inserendo una dummy dt per il “black Monday crash” nel 1987, in cui si registra un ribasso del -24%), il miglior modello stimato è un GJR GARCH(1,1) (Glosten, Jagannathan and Runkle 1993) che tiene conto della componente asimmetria, come segue:

g     g

L’analisi procede inserendo una variabile alla volta per vedere come variano i coefficienti e cosa risulta più significativo. Nella’articolo di Hsu e Wu (2009), vengono utilizzati i rendimenti dell’indice TAIEX (che è il corrispondente dello S&P500 per il Taiwan) e il VIX calcolato sullo stesso indice, nello stesso modo come viene costruito dalla CBOE, vengono utilizzati dati al minuto dal 01/10/2008 al 19/01/2010, per un totale di 21680 osservazioni, divise in 3 periodi. In questo studio vengono usati i modelli GARCH, GJR e CGARCH (component GARCH) analizzati sia inserendo che non inserendo il VIX, confrontando i coefficienti per vedere se l’inserimento di questa variabile esogena è significativa. Anche in questo caso sono stimati modelli che tengono conto dell’asimmetria della volatilità. Modelli utilizzati sono tutti stimati a 1 ritardo:

f     f        f

1) f 2) f 3)f   f

Tutti e 3 i modelli vengono stimati con e senza VIX, e poi sono confrontati tra di loro mediante le verosimiglianze e i punteggi AIC, per dimostrare se è significativo inserire il VIX per spiegare la volatilità.

G.Donaldson e M.Kamstra (2004) considerano rendimenti giornalieri e settimanali dell’S&P100 dal 1988 al 2003, i modelli econometrici utilizzati per l’analisi sono GARCH(1,1) e GJR(1,1): sono considerate come variabili esogene del modello il VIX e il volume di scambio del “New York Stock Exchange” (NYSE), che è la più grande borsa valori del mondo per volume di scambi e la seconda per numero di società quotate, ad avviso degli autori significativo a spiegare la volatilità dello S&P500.

Ahoniemi (2006) utilizza rendimenti giornalieri dello S&P500 e il rispettivo valore di volatilità implicita dal 1990 al 2004: lo studio affrontato consiste nel modellare la serie del VIX, utilizzando il suo valore in logaritmo, considerando come variabili esogene valori di chiusura del VIX ritardati, il volume di trading dello S&P500, l’indice MSCI EAFE (Europe, Australasian, Far East) che è utilizzato per misurare la performance del mercato azionario al di fuori di Stati Uniti e Canada, l’USD LIBOR a 3 mesi, U.S.

government bond yield e il prezzo del petrolio. Sulla base di test per l’autocorrelazione e il p-value dei coefficienti, un ARIMA(1,1,1) è risultato essere il migliore adattamento per la serie del log(VIX), il modello è stato poi migliorato stimando gli errori con un modello GARCH e inserendo le variabili esogene: la bontà di adattamento è stata confrontata principalmente con il Bayesian Information Criterion (BIC) e il coefficiente R2. Questa analisi è diversa dalle precedenti, ma è una riflessione importante su quali variabili possono spiegare la volatilità implicita, e per capire l’importanza del VIX, calcolato sullo S&P500, utile a spiegare la volatilità dei mercati finanziari.

Becker, Clements, Coleman-Fenn (2009) utilizzano dati giornalieri dal 1990 al 2008 dello S&P500 e i relativi dati VIX: per modellare la varianza sono impiegati GARCH(1,1) e GJR(1,1), anche in questo caso viene utilizzato un modello asimmetrico e uno simmetrico e vengono confrontate le stime ottenute. In tutti gli articoli affrontati si riscontra un effetto positivo del VIX sul modello, e la sua significatività nello studio della volatilità: è dimostrato, confrontando modelli con e senza VIX come variabile esogena, che questa variabile apporta dei punteggi più alti nell’accuratezza delle stime, e quindi si preferiscono sempre modelli in cui è considerata.

Mirko Cavallaro

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