Home > Doc > Strong Taylor Schemes for Stochastic Volatility > Introduction

# Numerical Data of the Double Integral

Using the subdivision method from Kloeden described above (page 14) with a
big integration step (K = 3000), we can calculate 1, 000, 000 double integrals
and separate them into small intervals between the original random numbers Z1 and Z2 (we use them to create our original Wiener process W1 and W2). The purpose is to calculate the mean and the variance of the double integral for the 2D Milstein given in {24}.

 Mean( I (2 , 1) ) Variance( I (2 , 1) ) Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 dt =1 dt =1 / 4 dt =1 dt =1 / 4 0.025 0.025 0.000625 0.010007 0.004162 0.079409 0.004963 0.025 0.100 0.002500 0.011555 0.002653 0.081133 0.005071 0.025 0.200 0.005000 0.019568 0.003030 0.083402 0.005213 0.025 0.300 0.007500 0.012789 0.002961 0.091702 0.005731 0.025 0.400 0.010000 0.010229 0.003629 0.097665 0.006104 0.025 0.500 0.012500 0.015630 0.002069 0.104966 0.006560 0.025 0.600 0.015000 0.023208 0.003114 0.115566 0.007223 0.025 0.700 0.017500 0.016189 0.003624 0.117808 0.007363 0.025 0.800 0.020000 0.027439 0.004620 0.137819 0.008614 0.025 0.900 0.022500 0.014564 0.005841 0.146159 0.009135 0.025 1.000 0.025000 0.017827 0.009778 0.164242 0.010265 0.025 1.100 0.027500 0.020559 0.007575 0.180988 0.011312 0.025 1.200 0.030000 0.021807 0.006506 0.203335 0.012708 0.025 1.300 0.032500 0.026190 0.009022 0.235076 0.014692 0.025 1.400 0.035000 0.042521 0.009056 0.244761 0.015298 0.025 1.500 0.037500 0.029561 0.010658 0.266552 0.016659 0.100 0.025 0.002500 0.010785 0.003035 0.080704 0.005044 0.100 0.100 0.010000 0.007566 0.002631 0.089528 0.005595 0.100 0.200 0.020000 0.014011 0.002762 0.088479 0.005530 0.100 0.300 0.030000 0.016448 0.003933 0.093988 0.005874 0.100 0.400 0.040000 0.020342 0.005036 0.096014 0.006001 0.100 0.500 0.050000 0.025009 0.006274 0.107928 0.006746 0.100 0.600 0.060000 0.029957 0.007547 0.113257 0.007079 0.100 0.700 0.070000 0.037977 0.008738 0.129985 0.008124 0.100 0.800 0.080000 0.039477 0.009897 0.137734 0.008608 0.100 0.900 0.090000 0.044830 0.011396 0.149750 0.009359 0.100 1.000 0.100000 0.050776 0.012543 0.170363 0.010648 0.100 1.100 0.110000 0.054263 0.013642 0.186051 0.011628 0.100 1.200 0.120000 0.059111 0.015040 0.201248 0.012578 0.100 1.300 0.130000 0.065812 0.016231 0.223367 0.013960 0.100 1.400 0.140000 0.068961 0.017261 0.237556 0.014847 0.100 1.500 0.150000 0.074330 0.018843 0.275237 0.017202 0.200 0.025 0.005000 0.019652 0.002770 0.087683 0.005480 0.200 0.100 0.020000 0.012157 0.003440 0.086711 0.005419
 0.200 0.200 0.040000 0.019352 0.004945 0.094670 0.005917 0.200 0.300 0.060000 0.029854 0.007475 0.088116 0.005507 0.200 0.400 0.080000 0.039580 0.009954 0.099872 0.006242 0.200 0.500 0.100000 0.049547 0.012531 0.105525 0.006595 0.200 0.600 0.120000 0.060197 0.015005 0.118234 0.007390 0.200 0.700 0.140000 0.069748 0.017484 0.127984 0.007999 0.200 0.800 0.160000 0.080151 0.019912 0.133288 0.008330 0.200 0.900 0.180000 0.089558 0.022501 0.155784 0.009736 0.200 1.000 0.200000 0.099180 0.024903 0.165524 0.010345 0.200 1.100 0.220000 0.109019 0.027331 0.186408 0.011651 0.200 1.200 0.240000 0.119985 0.029889 0.207304 0.012957 0.200 1.300 0.260000 0.130475 0.032533 0.229566 0.014348 0.200 1.400 0.280000 0.139825 0.034927 0.234611 0.014663 0.200 1.500 0.300000 0.149110 0.037267 0.271754 0.016985 0.300 0.025 0.007500 0.009092 0.004576 0.092830 0.005802 0.300 0.100 0.030000 0.018198 0.004399 0.093277 0.005830 0.300 0.200 0.060000 0.029733 0.007500 0.089997 0.005625 0.300 0.300 0.090000 0.044908 0.011245 0.098715 0.006170 0.300 0.400 0.120000 0.059602 0.014962 0.103446 0.006465 0.300 0.500 0.150000 0.075136 0.018728 0.111372 0.006961 0.300 0.600 0.180000 0.089469 0.022453 0.120334 0.007521 0.300 0.700 0.210000 0.105335 0.026186 0.128136 0.008009 0.300 0.800 0.240000 0.120135 0.029972 0.149341 0.009334 0.300 0.900 0.270000 0.134670 0.033712 0.161129 0.010071 0.300 1.000 0.300000 0.148945 0.037513 0.174827 0.010927 0.300 1.100 0.330000 0.164555 0.041270 0.188411 0.011776 0.300 1.200 0.360000 0.179975 0.044959 0.214560 0.013410 0.300 1.300 0.390000 0.193065 0.048567 0.230243 0.014390 0.300 1.400 0.420000 0.209355 0.052522 0.275989 0.017249 0.300 1.500 0.450000 0.224395 0.056262 0.282234 0.017640 0.400 0.025 0.010000 0.008845 0.003847 0.094453 0.005903 0.400 0.100 0.040000 0.020405 0.005490 0.094791 0.005924 0.400 0.200 0.080000 0.039660 0.010065 0.097961 0.006123 0.400 0.300 0.120000 0.059812 0.014984 0.107400 0.006713 0.400 0.400 0.160000 0.079849 0.019910 0.109741 0.006859 0.400 0.500 0.200000 0.099825 0.024917 0.120247 0.007515 0.400 0.600 0.240000 0.119835 0.029942 0.124103 0.007756 0.400 0.700 0.280000 0.139460 0.034952 0.133366 0.008335 0.400 0.800 0.320000 0.159445 0.039696 0.149742 0.009359 0.400 0.900 0.360000 0.179220 0.044888 0.165337 0.010334 0.400 1.000 0.400000 0.199995 0.049937 0.183187 0.011449 0.400 1.100 0.440000 0.219700 0.054929 0.207936 0.012996 0.400 1.200 0.480000 0.239595 0.059991 0.218453 0.013653 0.400 1.300 0.520000 0.258805 0.065034 0.243631 0.015227 0.400 1.400 0.560000 0.279545 0.069633 0.253408 0.015838 0.400 1.500 0.600000 0.298950 0.075182 0.272164 0.017010
 0.500 0.025 0.012500 0.009991 0.005696 0.105814 0.006613 0.500 0.100 0.050000 0.024990 0.006408 0.106960 0.006685 0.500 0.200 0.100000 0.049745 0.012496 0.104833 0.006552 0.500 0.300 0.150000 0.074959 0.018720 0.111830 0.006989 0.500 0.400 0.200000 0.100010 0.024917 0.125329 0.007833 0.500 0.500 0.250000 0.124895 0.031181 0.119973 0.007498 0.500 0.600 0.300000 0.149305 0.037414 0.136557 0.008535 0.500 0.700 0.350000 0.174615 0.043604 0.141310 0.008832 0.500 0.800 0.400000 0.199300 0.049892 0.160782 0.010049 0.500 0.900 0.450000 0.224655 0.056224 0.170628 0.010664 0.500 1.000 0.500000 0.249770 0.062481 0.183827 0.011489 0.500 1.100 0.550000 0.273820 0.068746 0.208776 0.013048 0.500 1.200 0.600000 0.300245 0.074848 0.224325 0.014020 0.500 1.300 0.650000 0.323680 0.081021 0.245160 0.015323 0.500 1.400 0.700000 0.348795 0.087452 0.268922 0.016808 0.500 1.500 0.750000 0.373740 0.093426 0.291758 0.018235 0.600 0.025 0.015000 0.017056 0.005759 0.115271 0.007204 0.600 0.100 0.060000 0.030214 0.007571 0.118779 0.007424 0.600 0.200 0.120000 0.060281 0.015040 0.117947 0.007372 0.600 0.300 0.180000 0.089603 0.022408 0.121841 0.007615 0.600 0.400 0.240000 0.120115 0.029971 0.126616 0.007913 0.600 0.500 0.300000 0.149930 0.037455 0.140467 0.008779 0.600 0.600 0.360000 0.179985 0.044913 0.152677 0.009542 0.600 0.700 0.420000 0.209635 0.052509 0.155923 0.009745 0.600 0.800 0.480000 0.239680 0.060009 0.167385 0.010462 0.600 0.900 0.540000 0.269775 0.067366 0.185462 0.011591 0.600 1.000 0.600000 0.298885 0.074853 0.192701 0.012044 0.600 1.100 0.660000 0.329535 0.082370 0.206679 0.012917 0.600 1.200 0.720000 0.360810 0.089780 0.227748 0.014234 0.600 1.300 0.780000 0.389515 0.097520 0.245937 0.015371 0.600 1.400 0.840000 0.419585 0.104836 0.275723 0.017233 0.600 1.500 0.900000 0.448220 0.112195 0.304347 0.019022 0.700 0.025 0.017500 0.013251 0.004516 0.125505 0.007844 0.700 0.100 0.070000 0.034870 0.008756 0.122969 0.007686 0.700 0.200 0.140000 0.069762 0.017432 0.125473 0.007842 0.700 0.300 0.210000 0.104700 0.026230 0.134688 0.008418 0.700 0.400 0.280000 0.139640 0.034894 0.136897 0.008556 0.700 0.500 0.350000 0.174500 0.043612 0.142781 0.008924 0.700 0.600 0.420000 0.209950 0.052339 0.149804 0.009363 0.700 0.700 0.490000 0.244035 0.061166 0.159234 0.009952 0.700 0.800 0.560000 0.279155 0.069880 0.173878 0.010867 0.700 0.900 0.630000 0.314900 0.078592 0.189826 0.011864 0.700 1.000 0.700000 0.349425 0.087408 0.206034 0.012877 0.700 1.100 0.770000 0.384410 0.096130 0.221377 0.013836 0.700 1.200 0.840000 0.418380 0.104793 0.247881 0.015493 0.700 1.300 0.910000 0.454000 0.113470 0.270799 0.016925
 0.7 1.4 0.98 0.487795 0.122148 0.293598 0.01835 0.7 1.5 1.05 0.522955 0.130925 0.324402 0.020275 0.8 0.025 0.02 0.011025 0.00543 0.128745 0.008047 0.8 0.1 0.08 0.039586 0.010026 0.139101 0.008694 0.8 0.2 0.16 0.080027 0.019899 0.137058 0.008566 0.8 0.3 0.24 0.119645 0.030001 0.14482 0.009051 0.8 0.4 0.32 0.15975 0.039895 0.160473 0.01003 0.8 0.5 0.4 0.200065 0.049928 0.159764 0.009985 0.8 0.6 0.48 0.239315 0.060032 0.161708 0.010107 0.8 0.7 0.56 0.278895 0.06987 0.175435 0.010965 0.8 0.8 0.64 0.320105 0.079934 0.185646 0.011603 0.8 0.9 0.72 0.359535 0.089829 0.200298 0.012519 0.8 1 0.8 0.399175 0.099864 0.219702 0.013731 0.8 1.1 0.88 0.438595 0.10962 0.232896 0.014556 0.8 1.2 0.96 0.47842 0.119533 0.253976 0.015873 0.8 1.3 1.04 0.519365 0.129585 0.268286 0.016768 0.8 1.4 1.12 0.558445 0.139723 0.293237 0.018327 0.8 1.5 1.2 0.600715 0.149845 0.314867 0.019679 0.9 0.025 0.0225 0.024578 0.007188 0.148501 0.009281 0.9 0.1 0.09 0.045148 0.011924 0.152126 0.009508 0.9 0.2 0.18 0.089972 0.022458 0.15801 0.009876 0.9 0.3 0.27 0.134785 0.033834 0.166346 0.010397 0.9 0.4 0.36 0.17983 0.044816 0.162256 0.010141 0.9 0.5 0.45 0.22468 0.056205 0.175631 0.010977 0.9 0.6 0.54 0.2693 0.067333 0.176098 0.011006 0.9 0.7 0.63 0.315025 0.078549 0.186659 0.011666 0.9 0.8 0.72 0.35812 0.089883 0.193603 0.0121 0.9 0.9 0.81 0.404845 0.10101 0.219158 0.013697 0.9 1 0.9 0.44895 0.112258 0.225163 0.014073 0.9 1.1 0.99 0.49473 0.123665 0.249903 0.015619 0.9 1.2 1.08 0.538325 0.13475 0.26772 0.016733 0.9 1.3 1.17 0.584405 0.145958 0.288047 0.018003 0.9 1.4 1.26 0.626595 0.157265 0.340426 0.021277 0.9 1.5 1.35 0.675415 0.168225 0.346795 0.021675 1 0.025 0.025 0.023897 0.007998 0.152108 0.009507 1 0.1 0.1 0.050196 0.01249 0.168499 0.010531 1 0.2 0.2 0.09949 0.025004 0.160264 0.010017 1 0.3 0.3 0.149375 0.037401 0.168995 0.010562 1 0.4 0.4 0.19999 0.049878 0.180294 0.011268 1 0.5 0.5 0.25032 0.062494 0.185747 0.011609 1 0.6 0.6 0.29898 0.074894 0.194649 0.012166 1 0.7 0.7 0.34959 0.087321 0.210464 0.013154 1 0.8 0.8 0.39977 0.099704 0.230739 0.014421 1 0.9 0.9 0.44877 0.11248 0.228685 0.014293 1 1 1 0.49896 0.124595 0.246552 0.015409 1 1.1 1.1 0.548745 0.1371 0.265146 0.016572
 1 1.2 1.2 0.599965 0.149873 0.282315 0.017645 1 1.3 1.3 0.64924 0.162108 0.307614 0.019226 1 1.4 1.4 0.69782 0.1749 0.349659 0.021854 1 1.5 1.5 0.74631 0.186905 0.353323 0.022083 1.1 0.025 0.0275 0.024136 0.005369 0.178371 0.011148 1.1 0.1 0.11 0.055179 0.013776 0.19138 0.011961 1.1 0.2 0.22 0.109395 0.027366 0.192349 0.012022 1.1 0.3 0.33 0.164825 0.041141 0.196618 0.012289 1.1 0.4 0.44 0.21923 0.054984 0.198553 0.01241 1.1 0.5 0.55 0.27409 0.068694 0.210488 0.013156 1.1 0.6 0.66 0.330035 0.082335 0.209178 0.013074 1.1 0.7 0.77 0.384325 0.09622 0.220127 0.013758 1.1 0.8 0.88 0.438845 0.10981 0.25041 0.015651 1.1 0.9 0.99 0.494775 0.123845 0.248738 0.015546 1.1 1 1.1 0.54875 0.137093 0.255129 0.015946 1.1 1.1 1.21 0.604215 0.15079 0.289197 0.018075 1.1 1.2 1.32 0.658025 0.16486 0.294715 0.01842 1.1 1.3 1.43 0.71191 0.178645 0.350184 0.021886 1.1 1.4 1.54 0.766955 0.19248 0.342073 0.02138 1.1 1.5 1.65 0.82429 0.205803 0.374405 0.0234 1.2 0.025 0.03 0.017594 0.00823 0.202317 0.012645 1.2 0.1 0.12 0.059933 0.014912 0.203855 0.012741 1.2 0.2 0.24 0.119665 0.029898 0.21003 0.013127 1.2 0.3 0.36 0.17961 0.045088 0.211189 0.013199 1.2 0.4 0.48 0.240205 0.059924 0.20923 0.013077 1.2 0.5 0.6 0.300415 0.07503 0.236585 0.014787 1.2 0.6 0.72 0.360545 0.089762 0.234621 0.014664 1.2 0.7 0.84 0.41834 0.104807 0.246714 0.01542 1.2 0.8 0.96 0.479165 0.119498 0.261915 0.01637 1.2 0.9 1.08 0.539735 0.134795 0.275457 0.017216 1.2 1 1.2 0.598435 0.149845 0.286982 0.017936 1.2 1.1 1.32 0.658915 0.164848 0.295294 0.018456 1.2 1.2 1.44 0.71676 0.179735 0.358945 0.022434 1.2 1.3 1.56 0.777105 0.19459 0.341118 0.02132 1.2 1.4 1.68 0.839515 0.209745 0.365606 0.02285 1.2 1.5 1.8 0.898185 0.224783 0.404047 0.025253 1.3 0.025 0.0325 0.022485 0.007113 0.214625 0.013414 1.3 0.1 0.13 0.065427 0.016241 0.223852 0.013991 1.3 0.2 0.26 0.13006 0.032445 0.222973 0.013936 1.3 0.3 0.39 0.193195 0.048454 0.22079 0.013799 1.3 0.4 0.52 0.259155 0.064857 0.234556 0.01466 1.3 0.5 0.65 0.323505 0.081141 0.24976 0.01561 1.3 0.6 0.78 0.388155 0.097521 0.249983 0.015624 1.3 0.7 0.91 0.453825 0.113325 0.261926 0.01637 1.3 0.8 1.04 0.519225 0.129708 0.267072 0.016692 1.3 0.9 1.17 0.5845 0.146013 0.297839 0.018615
 1.3 1 1.3 0.64837 0.162133 0.307555 0.019222 1.3 1.1 1.43 0.71113 0.17827 0.320862 0.020054 1.3 1.2 1.56 0.778535 0.194568 0.325117 0.02032 1.3 1.3 1.69 0.84452 0.210733 0.35619 0.022262 1.3 1.4 1.82 0.911645 0.227113 0.348718 0.021795 1.3 1.5 1.95 0.97184 0.24392 0.397068 0.024817 1.4 0.025 0.035 0.018929 0.008145 0.229847 0.014365 1.4 0.1 0.14 0.069638 0.017353 0.243292 0.015206 1.4 0.2 0.28 0.139335 0.03461 0.236676 0.014792 1.4 0.3 0.42 0.209575 0.05247 0.258227 0.016139 1.4 0.4 0.56 0.277985 0.0697 0.255527 0.01597 1.4 0.5 0.7 0.34971 0.087136 0.271365 0.01696 1.4 0.6 0.84 0.420095 0.105153 0.283233 0.017702 1.4 0.7 0.98 0.4889 0.122183 0.292447 0.018278 1.4 0.8 1.12 0.557855 0.139603 0.278334 0.017396 1.4 0.9 1.26 0.62797 0.15717 0.320737 0.020046 1.4 1 1.4 0.69779 0.174518 0.343654 0.021478 1.4 1.1 1.54 0.766725 0.192165 0.348564 0.021785 1.4 1.2 1.68 0.837615 0.209688 0.361205 0.022575 1.4 1.3 1.82 0.907725 0.227395 0.37916 0.023698 1.4 1.4 1.96 0.98209 0.244233 0.398359 0.024897 1.4 1.5 2.1 1.0476 0.26189 0.414654 0.025916 1.5 0.025 0.0375 0.040737 0.012035 0.257181 0.016074 1.5 0.1 0.15 0.075381 0.01864 0.28882 0.018051 1.5 0.2 0.3 0.150045 0.037402 0.28453 0.017783 1.5 0.3 0.45 0.224345 0.055859 0.280946 0.017559 1.5 0.4 0.6 0.29901 0.074929 0.274698 0.017169 1.5 0.5 0.75 0.375465 0.093725 0.3042 0.019013 1.5 0.6 0.9 0.44912 0.11199 0.314545 0.019659 1.5 0.7 1.05 0.52369 0.130993 0.322704 0.020169 1.5 0.8 1.2 0.59968 0.149653 0.31596 0.019748 1.5 0.9 1.35 0.67515 0.168188 0.339714 0.021232 1.5 1 1.5 0.746565 0.186648 0.337491 0.021093 1.5 1.1 1.65 0.823285 0.20592 0.365489 0.022843 1.5 1.2 1.8 0.897185 0.22436 0.392344 0.024521 1.5 1.3 1.95 0.971305 0.243625 0.413372 0.025836 1.5 1.4 2.1 1.04765 0.26196 0.419161 0.026198 1.5 1.5 2.25 1.1248 0.280175 0.453122 0.02832

Prof. Klaus Schmitz

Next: References

Summary: Index