Modelli Stimati

La procedura di stima parte sempre da modelli più semplici consideranto il numero più basso di ritardi: si inizia dal modello ARCH(1) per poi stimare un GARCH(1,1) e un TGARCH(1,1), inserendo le variabili VIXt-1, log(VIX)t-1 e VIX2t-1 come segue:

ARCH(1)+ VIXt-1 ARCH(1)+ log(VIX)t-1 ARCH(1)+ VIX2t-1 ARCH(1)+ VIXt-1+ log(VIX)t-1 ARCH(1)+ VIXt-1+ VIX2t-1

GARCH(1,1)+ VIXt-1 GARCH(1,1)+ log(VIX)t-1 GARCH(1,1)+ VIX2t-1 GARCH(1,1)+ VIXt-1+ log(VIX)t-1 GARCH(1,1)+ VIXt-1+ VIX2t-1

TGARCH(1,1)+ VIXt-1 TGARCH(1,1)+ log(VIX)t-1 TGARCH(1,1)+ VIX2t-1 TGARCH(1,1)+ VIXt-1+ log(VIX)t-1

TGARCH(1,1)+ VIXt-1+ VIX2t-1

Per testare la significatività dei modelli si utilizzano 3 informazioni di stima:

1- La probabilità dei coefficienti: per ogni variabile inserita nel modello (sia endogena che esogena) l’output di stima calcola un peso, o coefficiente, attribuito ad ogni variabile, allo stesso tempo ad ogni coefficiente è associata una probabilità che informa se il vaole stimato è accettato oppure no. Con una probabilità maggiore del 5% (P>0,05) non si accetta la significatività dei coefficienti stimati dal modello, al contratio se questa probabilità è minore del 5% i coefficienti stimati sono accettati dal modello.

2-Test per valutare l’ipotesi nulla di omoschedasticità della componente stocastica (test ARCH LM, Engle 1982). Si assume di avere eteroschedasticità nei residui, distribuiti come un autoregressivo di ordine p:

in modo che la dimensione dei residui correnti, al quadrato, è collegata a quella dei residui passati. La particolare specificazione scelta per l’eteroschedasticità è motivata dall’osservazione che per dati economici molto spesso la dimensione dei residui correnti appare correlata con la dimensione dei residui più recenti. Una volta specificato il valore p per valutare l’ipotesi di omoschedasticità:

si considera la regressione di  sui suoi ritardi e si determina la statistica test LM=TR2, che si distribuisce come un . Anche in questo caso con probabilità maggiore del 5% non rifiuto l’ipotesi nulla.

3-Correlogrammi della statistica Q di Ljung e Box:

Dove  è la j-esima autocorrelazione, T il numero di osservazioni. La statistica  è utilizzata per valutare che, nella serie degli errori della stima del modello, tutte le  autocorrelazioni siano nulle. L’ipotesi nulla è quindi che si distribuisca come un con gradi di libertà, quindi tale ipotesi non è accettata con una probabilità maggiore del 5%, in questo caso si può affermare che non vi è più correlazione fra i residui.

Se tutte queste condizioni vengono soddisfatte si può ritenere di aver stimato un buon modello.

Modello ARCH(1)à

Figura 32: Significatività modello ARCH(1)

Modello GARCH(1,1)à

Figura 33: Significatività modello GARCH(1,1)

Modello TGARCH(1,1) à

Figura 34: Significatività modello TGARCH(1,1)

Dalle stime dei modelli solamente 3 rispettano tutte le condizioni di significatività:

  Per verificare quale di questi modelli è il migliore è opportuno osservare il loro punteggio AIC (Akaike info criterion):

Figura 35: Modelli con migliore punteggio AIC

Sono stati stimati altri modelli aumentando il numero di ritardi: ARCH(2), GARCH(2,1), TGARCH(2,1), GARCH(2,2) e TGARCH(2,2), ma nessuno di questi accettava le 3 condizioni di significatività contemporaneamente, inoltre è sempre opportuno scegliere specificazioni più semplici del modello.

Mirko Cavallaro

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