Un modo abbastanza semplice per vedere se una serie presenza autocorrelazione è quella di tracciarne il correlogramma con la funzione acf(). In caso di assenza di autocorrelazione la distribuzione asintotica della stima del coefficiente di autocorrelazione è di tipo normale ed avremo una banda di confidenza del tipo:
valori esterni a tale intervallo indicano la presenza di autocorrelazione significativa. Tracciamo quindi il correlogramma dei residui standardizzati (Graf. 19):
acf(res.stand,main="Correlogramma dei residui")
Le linee tratteggiate di colore azzurro indicano la banda di confidenza ad un livello del 95%. Al variare del lag temporale i coefficienti di autocorrelazione dei residui risultano essere tutti interni alla banda di confidenza, indicando quindi assenza di correlazione serie.
Test di Ljung-Box e di Box-Pierce
Una statistica che può essere utilizzata per verificare l’assenza di autocorrelazione è una opportuna combinazione lineare dei coefficienti di autocorrelazione dei residui r(t):
dove k è un intero prescelto. Se è vera l’ipotesi nulla (assenza di autocorrelazione) la statistica LB si asintoticamente secondo una variabile casuale chi-quadro con k gradi di libertà. Un test analogo a quello di Ljung – Box è quello che si basa sulla statistica proposta da Box – Pierce:
Le due statistiche differiscono semplicemente per il diverso sistema di ponderazione adoperato, ma asintoticamente hanno la medesima distribuzione. Si dimostra, tuttavia, che LB ha una convergenza più rapida alla distribuzione asintotica e, per tale motivo, risulta preferibile al test di Box-Pierce. Verifichiamo che nella nostra serie di residui standardizzati non vi sia correlazione seriale prima con il test di Ljiung-box e poi con quello di Box-Pierce:
Come output dei risultati calcolati da Box.test() possiamo vedere la statistica utilizzata (Box-Pierce oppure Ljung-Box), il relativo valore (X-squared), i corrispondenti gradi di libertà (df) e il livello di significatività osservato (p-value). Si noti in particolare che il secondo argomento della funzione è costituito dal numero dei coefficienti di autocorrelazione che si vogliono considerare nella statistica e che diventano i gradi di libertà della statistica stessa. Il terzo argomento serve per specificare il tipo di test che si vuole effettuare. In entrambi i casi il risultato del test non ci consente di rifiutare l’ipotesi nulla, concludiamo per tanto sostenendo che non i residui della nostra serie storica non sono autocorrelati.
Test di di Durbin-Watson
Un ulteriore modalità per valutare l’esistenza di autocorrelazione tra i residui è rappresentata dal test di Durbin-Watson, che saggia l’ipotesi nulla di assenza di autocorrelazione tra i residui. È un test di solito adoperato per la verifica sui residui della regressione, ma è anche applicabile ai residui di una serie storica. La statistica test è:
Nell’ambiente R è disponibile il comando dwtest()presente nel package lmtest. Effettuiamo il test sui residui standardizzati seguendo due strade:
1) facendo regredire i valori osservati della serie storica della ore lavorate sul trend e la stagionalità, senza considerare l’intercetta ed effettuare il test di Durbin e Watson sui residui di tale regressione:
2) facendo regredire i residui su una costante :
La funzione richiede come argomento una formula che costituisce il modello del quale si vuole verificare l’assenza di autocorrelazione dei residui e il tipo di ipotesi alternativa specificata nel parametro alternative che può assumere i valori: “greater” nel caso di ipotesi alternativa unidirezionale destra, “two.sided”in caso di ipotesi alternativa bidirezionale e “less” in caso di ipotesi unidirezionale sinistra. L’output del test ci fornisce il modello testato, il valore della statistica, il livello significatività e l’ipotesi alternativa scelta. In ambo i casi esaminati si conferma l’assenza di autocorrelazione dei residui. Concludendo possiamo affermare che la componente erratica della nostra serie storica risulta soddisfare tutti i requisiti richiesti: normalità, omoschedasticità e assenza di correlazione seriale. Essa può quindi assimilarsi ad un processo stocastico detto white noise (rumore bianco) gausssiano. Per completezza sui tests di specificazione si ritiene opportuno segnalare che nel package fSeries sono contenuti ulteriori tests statistici che vanno al di là della portata di questo manuale. Per visualizzare l’aiuto in linea di tali funzioni digitare dalla linea di comando:
library (fSeries)
? TseriesTests
? RegressionTests
Naturalmente occorre aver prima scaricato dal CRAN il package in oggetto.
Vito Ricci
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