Ai frattali si è giunti partendo da differenti approcci e seguendo vie di indagine diverse, che all'inizio non avevano tra loro alcun apparente elemento in comune; solo in un secondo tempo ci si è accorti della stretta parentela che intercorre tra i risultati ottenuti nei diversi settori di ricerca. Del resto, come comunemente accade nell'ambito dei problemi fisico-matematici, le diverse questioni, così come pure i risultati, possono essere esaminati da tre punti di vista che costituiscono tre modi di vedere complementari:
a) il punto di vista analitico;
b) il punto di vista geometrico;
c) il punto di vista fisico-dinamico;
a) Frattali dal punto di vista analitico;
Il punto di vista dell’analisi matematica lavora di regola con le formule, senza rappresentazioni, e pone domande che spesso non sono facili da intuire e appaiono immediatamente non visualizzabili e facilmente comprensibili; eppure molti problemi di natura fisica appaiono ricollegarsi, in un secondo momento, a volte anche con gli aspetti apparentemente più astrusi dell'analisi. Nel primo ventennio del '900 il matematico francese Gaston Julia stava studiando il comportamento della serie di variabile complessa generata dalla successione definita ricorsivamente dalla su richiamata legge xn + 1 = xn2 + c, con x = 1, 2, 3, ... e c parametro complesso fisso e si chiedeva al di là di quale frontiera nel piano complesso essa fosse divergente.
Le sue conclusioni furono che una simile frontiera doveva essere frastagliata all'infinito e quindi praticamente irrappresentabile. Ingrandendone una parte, per quanto piccola, essa ripeteva le stesse contorsioni presenti in grande scala. La serie divergeva all'esterno della frontiera e convergeva od oscillava al suo interno. Questa frontiera infinitamente frastagliata ad ogni scala sembrava essere una sorta di mostro matematico. Non si poteva mai approssimare con un segmento di retta neppure in un intorno molto piccolo di un suo punto. Analogo comportamento hanno le curve di Peano, matematico italiano ben noto per la sua assiomatizzazione dell'aritmetica, le quali sono esse pure infinitamente frastagliate, al punto che tendono a distribuirsi sull'intera superficie del piano invadendola completamente come una sorta di edera matematica che ricopre completamente il fusto di un albero.
b) Frattali dal punto di vista geometrico;
Dal punto di vista geometrico le caratteristiche dei frattali sono molto più intuitive in quanto possiamo rappresentare visivamente i risultati delle procedure che generano un'immagine frattale. I casi dell'insieme di Cantor, la curva di von Kock e il triangolo di Sierpinski ne sono gli esempi più comuni. La ripetizione all'infinito della medesima struttura all'interno di ogni parte di una figura, consente alla caratteristica principale dei frattali (l'autosomiglianza) di emergere ed è una conseguenza del processo iterativo con cui si è costruita l'immagine. A causa di questa proprietà i frattali, pur essendo delle curve, quindi degli oggetti topologicamente unidimensionali, tendono a riempire una certa frazione della superficie del piano (ecco dunque la dimensione frattale frazionaria).
c) Frattali dal punto di vista fisico-dinamico;
Una prima semplice spiegazione sul perché in natura le forme frattali sono diffuse, è che le leggi della natura operano su tutte le scale e, quindi, si possono trovare tanti esempi di forme o fenomeni naturali per cui vale una relazione come quella dell'invarianza di scala. In realtà una risposta più esauriente può ritrovarsi nei risultati relativamente recenti di una nuova branca della scienza, di quella cioè che si occupa del caos. Il caos, nella terminologia che richiama lo studio della natura dei sistemi complessi, è il risultato di un processo deterministico non lineare che all'apparenza sembra governato dal caso. Un sistema deterministico è un sistema nel quale il risultato è determinato da un'equazione o un sistema di equazioni.
La risposta è data dalla interazione di un gruppo di variabili. Un processo o un sistema dinamico differenziale non lineare è un sistema in cui le variabili dipendenti del sistema crescono secondo una legge esponenziale o sono ottenute dal prodotto di più variabili indipendenti. È dinamico se i valori correnti del sistema sono una trasformazione di quelli passati. Anche se le sue primi origini risalgono alla fine del secolo scorso con il matematico francese Henry Poincaré (Gleick, 1988), in impulso determinante per lo sviluppo della ricerca in questo campo si deve agli studi del fisico Edward Lorenz (1963). Egli sintetizzò un semplice modello atmosferico governato da tre sole equazioni differenziali non lineari in tre parametri indipendenti.
Lorenz scoprì che tale modello non si comportava in maniera semplice ma assumeva configurazioni apparentemente casuali, difficilmente prevedibili, e quindi mostrava un andamento caotico. La ragione di questa apparente anomalia fu spiegata dallo stesso ricercatore americano: tali equazioni differenziali, a causa della loro non linearità, sono in realtà molto sensibili alle condizioni iniziali, per cui anche cambiando di pochissimo le condizioni di partenza del sistema dinamico ad esso associate, l'evoluzione del sistema, per una divergenza esponenziale di traiettorie inizialmente vicine nello spazio delle fasi, assume stati del tutto differenti; da qui l'impossibilità pratica di prevederne il comportamento. Ancora più sorprendente fu che, dietro questo apparente disordine e complessità del sistema dinamico studiato, si nascondeva un ordine ben più incredibile. Riportando l'evoluzione del sistema dinamico nello spazio delle fasi, il fisico scoprì che in esso il sistema evolveva lungo traiettorie che, seppur diverse ogni volta, avevano un aspetto ordinato e regolare.
L'imprevedibilità dei sistemi caotici fu denominato effetto farfalla in seguito ad una teoria avanzata dallo stesso Lorenz in base alla quale il battito di una farfalla in Brasile potrebbe, a seguito di una catena di eventi, provocare una tromba d'aria in Texas. Per un sistema che tende a perdere la sua energia, la traiettoria copre nello spazio delle fasi un'area sempre più piccola fino a ricoprire e ricadere in una zona detta attrattore. Si dimostra che quando un sistema dinamico è caratterizzato da un attrattore con dimensione frattale, il sistema è caotico. Tale tipo di attrattore è detto attrattore strano. L'approccio dinamico ai frattali, sia esso di natura differenziale o algebrica, è poi molto importante anche perché consente di evidenziare il rapporto che c'è tra i frattali e il caos, per il fatto che figure ordinate sono generate da una dinamica caotica.
Principali tipi di frattali
I diversi tipi di frattali che si conoscono possono essere classificati secondo criteri differenti.
a) classificazione fisico-geometrica
Distingue i frattali su base qualitativa (fisica) per le loro caratteristiche geometriche e fisiche in immagini che corrispondono ad oggetti verosimili come felci, foglie, profili di montagne, nubi, paesaggi, insetti, ecc., e che non corrispondono ad oggetti verosimili, ma sono piuttosto figure decorative dotate spesso anche di altre simmetrie oltre a quella autosomigliante.
b) classificazione analitico-geometrica
Distingue i frattali su base quantitiva (matematica) a partire dal tipo di legge ricorsiva mediante la quale sono generate le immagini. Si hanno in questo modo frattali generati dall'iterazione di funzioni di variabili reali a valori vettoriali reali che possono essere lineari (metodo IFS, Iterated Function Systems) oppure non lineari.
Frattali generati dall’iterazione di una funzione di variabile complessa a valori complessi imponendo certe condizioni di non convergenza della serie associata (come esempio si distingue l’insieme di Julia).
c) classificazione dinamico-fisica
Questa classificazione identifica i frattali che nascono da problemi di natura fisica governati da una dinamica caotica.
Dunque si può ora dare una definizione generale di frattale. Falconer (1990) propone una definizione che può essere riassunta come segue. Un insieme F può presentare caratteristiche frattali se:
1) F ha una struttura "fine"; qualunque sia la scala di osservazione il dettaglio dell'immagine rimane inalterato;
2) F è troppo irregolare perché sia descritto con gli strumenti della geometria classica, sia globalmente sia localmente;
3) In molti casi F presenta qualche forma di autosomiglianza ancorché solo approssimata o stocastica;
4) La dimensione frattale di F è generalmente maggiore della sua dimensione topologica e non intera;
5) In alcuni casi F può essere descritto mediante semplici regole ricorsive.
Si può ora anche dare una definizione più rigorosa di autosomiglianza e del concetto di autoaffinità che meglio si adatta a descrivere le proprietà di somiglianza di una variabile x(t) dove t rappresenta il tempo e dunque variabili più caratterizzanti le serie storiche (Mandelbrot, 1983).
- Autosomiglianza (Self-Similarity)
Nello spazio euclideo Rn il valore reale r induce una trasformazione detta somiglianza nel senso che il punto nello spazio n-dimensionale x = (x1,...xn) può essere trasformato nel punto r(x) = (rx1,...rxn), in altre parole l'insieme F nell'insieme r(F).
Un insieme finito si dice autosomigliante, dato r reale e N intero, quando F è l'unione di N sottoinsiemi disgiunti, ciascuno dei quali è concordante rispetto a r(F); concordante significa identico eccetto che per una traslazione o una rotazione. Un insieme finito F si dice autosomigliante, dato il vettore (r(1),...,r(N)) di numeri reali, quando F รจ l'unione di N sottoinsiemi disgiunti, rispettivamente concordanti a r(N)F.
Un insieme finito di variabili casuali F è statisticamente autosomigliante, dato r reale ed N intero, quando F è l'unione di N sottoinsiemi disgiunti, ognuno dei quali ha la forma r(Fn)e ciascuno degli N sottoinsiemi è concordante in distribuzione con F. Un insieme infinito F è autosomigliante, dato r reale, quando l'insieme r(F) è concordante rispetto ad F.
- Autoaffine (Self-Affinity)
In uno spazio euclideo di dimensione n, un vettore di valori reali r = (r1,...rn) induce una trasformazione detta affinità. Esso trasforma il punto nello spazio n-dimensionale x = (x1,...xn) nel punto r(x) = (rx1,...rxn) = (x1r1,..., xnrn); dunque l'insieme F nell'insieme r(F).
Un insieme finito F è autoaffine, dato il vettore r e l'intero N, quando F è l'unione di N sottoinsiemi disgiunti, ciascuno dei quali è concordante con U(F). Un insieme infinito F è autoaffine, dato il vettore r, quando l'insieme r(F) è concordante con F. Quest'ultima definizione è spesso applicata sotto le seguenti condizioni:
a) F è rappresentato dal grafico della funzione x(t) , con t vettore del tempo, nello spazio (n-1)-dimensionale;
b) r1 = r2 =...= r n-1 = r.
In particolare una funzione x(t) , t tempo, è autoaffine, dato un certo a e t0 l'istante
iniziale, se log(rn)/log(r) = a, e tale che per ogni h> 0 la funzione 
sia
indipendente rispetto ad h, ovvero x(t) e h-a x(ht) sono identiche nella forma della distribuzione.
Giancarlo Fabbro
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