Serie storiche frattali

Una serie storica di dati si comporterà in modo casuale quando su di essa agirà un ampio numero di eventi che hanno una distribuzione uniformemente casuale. Una serie storica che non si comporti in modo casuale, rifletterà la natura non casuale degli eventi che la generano. I dati si aggregheranno in un modo da manifestare la correlazione tra gli eventi. In altre parole si può ritenere che, come si avrà modo di comprendere meglio nel seguito, quella serie di dati abbia una distribuzione di tipo frattale. Una serie storica frattale possiede l'autosomiglianza stocastica rispetto al tempo.

In figura 2.9 sono riportate le variazioni dei prezzi giornalieri, settimanali e mensili dell'indice Standard & Poor's 500 per trenta osservazioni consecutive. Senza alcuna indicazione sugli assi dei valori di riferimento, non è possibili dire a quali rilevazioni (giornalieri, settimanali o mensili), si riferisca ciascun grafico.

La figura dà un'idea di cosa si deve intendere per autosomiglianza (in questo caso statistica) rispetto al tempo. Si noti come le curve dei prezzi tracciate nei tre grafici abbiano un comportamento simile a quello descritto dalla funzione di Weierstrass di figura 2.6, al diminuire dell'intervallo temporale di osservazione. I frattali descritti da una qualche funzione matematica (vedi funzione di Weierstrass oppure funzione generatrice degli insiemi di Julia) consentono di "scendere" nell'oggetto all'infinito ottenendo sempre una forma simile al tutto. Gli oggetti naturali, invece, presentano questa caratteristica solo sino ad un certo punto. Si pensi ad un albero.

I suoi rami assomigliano all'albero intero. I rametti dei rami, anch'essi assomigliano all'albero intero, ma ad un certo punto non è più possibile andare oltre. L'andamento dei prezzi si comporta nella realtà come una variabile discreta a causa dell'oscillazione minima che uno strumento finanziario può registrare. Quindi anche nel caso dei grafici di figura 2.9, ad un certo punto il processo di rimpicciolimento dell'intervallo temporale condurrebbe ad una forma che non ha più una forma statisticamente simile al tutto.

Giancarlo Fabbro