Feder (1988) ha proposto un algoritmo che, partendo da una serie casuale di dati normalmente distribuiti con media zero e varianza unitaria, permette di generare una serie di valori che simulano approssimativamente un FBM L'algoritmo è così definito:
(4.6)
La variabile X(.) è un vettore di dati casuali N(0,1); il pedice (.) rappresenta la posizione del dato all'interno del vettore. Il simbolo Γ è relativo alla funzione Gamma. Per la simulazione sono state generata due stringhe di 16.383 dati che rappresentano le due variabili casuali indipendenti BM Xa e Ya di partenza.
La costante n riguarda principalmente il comportamento della serie generata nel breve termine; per la simulazione n = 5, t rappresenta il tempo.
L'esponente di Hurst è sempre rappresentato dalla costante H. Sono stati scelte quattro ipotesi: H = 0,52; H = 0,65; H = 0,75 e H = 0,90. In tutti e quattro i casi il prodotto finale è una coppia di stringhe di circa tre mila dati ciascuna che rappresentano le variabili Δ FBM(t) Xb e Yb risultato dell'elaborazione di Xa e Ya.
Ogni dato generato dall'elaborazione deve tenere traccia di quelli passati così da simulare la persistenza dell'effetto memoria. Per questo motivo l'elaborazione dei dati in uscita è fatta sulla base degli ultimi m dati rispetto alla posizione corrente dell'indice (.) all'interno del vettore. Teoricamente questa persistenza dovrebbe essere infinita, ma per la simulazione si è posto un valore pari a duecento, cioè dopo duecento iterazioni il "ricordo" del percorso passato svanisce e inizia un nuovo ciclo di dati correlati nel lungo termine tra loro.
Il risultato delle simulazioni è visibile nei grafici 4.1. I grafici a sinistra evidenziano il tracciato nel piano delle somme cumulate delle variabili Xb e Yb . A destra sono riportati i grafici rispetto al tempo della somma cumulata della variabile Yb.
Per ogni tracciato è segnalato il rispettivo esponente di Hurst e la dimensione frattale ricordando la differenza tra DT e DG. Come si può notare la curva mantiene una forma di base poiché i quattro casi sono stati generati partendo dalla stessa stringa di valori casuali. Passando da valori di H prossimi a 0,50 a valori prossimi ad uno, si può come, tanto il tracciato quanto il grafico rispetto al tempo, percorrono un sentiero che è sempre meno frastagliato.
La persistenza si può notare chiaramente se si considerano i due casi opposti. Mentre per H = 0,52, con riferimento all'asse delle ordinate, la curva si muove entro un intervallo di circa novanta valori, nello stesso intervallo di tempo, per H = 0,90 il range è di circa seicento valori. La persistenza fa si che la variabile tenda a mantenere lo stesso orientamento per più tempo prima di cambiare direzione.
Giancarlo Fabbro
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