Appendice A – Individuazione del sentiero di crescita bilanciata (balanced growth path)
In questa Appendice studiamo qualitativamente, attraverso l’analisi di un diagramma di fase, la dinamica del modello teorico presentato e diamo un’interpretazione grafica dell’equilibrio di crescita bilanciata (Balanced Growth Path Equilibrium, BGPE). Il sistema di equazioni dinamiche è il seguente:
(4)
(5)
In stato stazionario deve essere vero:
Si noti, inoltre, che:
Tutte queste informazioni possono essere raccolte nel diagramma illustrato in Figura A.1 nel quale sono riportati il livello del capitale umano pro-capite ( ht ) sull’asse verticale e quello del capitale fisico pro-capite ( kt ) sull’asse orizzontale. Lo stato stazionario del modello (l’intersezione tra i luoghi dei punti nei quali ht = 0 e kt = 0 ) è rappresentato dall’origine degli assi. In questo punto non vi è crescita delle due variabili (il capitale umano e il capitale fisico pro-capite). Inoltre, come risulta chiaro dall’andamento delle frecce riportate in Figura A.1, il sistema dinamico manifesta saddle-path stability.
Infatti, se ci si trovasse nello stato stazionario, lì ci si fermerebbe; se si partisse da un qualsiasi punto che si trovi lungo l’asse orizzontale (il luogo ht ), a destra o a sinistra dell’origine, si tornerebbe comunque verso lo stato stazionario; invece se si partisse da un qualsiasi altro punto (non situato sull’asse orizzontale), allora la dinamica porterebbe il sistema ad allontanarsi sempre di più dallo stato stazionario. Pertanto, l’asse orizzontale del diagramma di fase (il luogo dei punti per i quali ht = 0 rappresenta lo stable- arm o saddle-path del sistema dinamico).
L’asse orizzontale, quello verticale e il luogo kt = 0 dividono il piano del diagramma di fase in sei distinte regioni. È immediato verificare che:
• nella prima regione (delimitata dal semi-asse orizzontale positivo e dal ramo superiore del luogo
• nella seconda regione (delimitata dal semi-asse verticale positivo e dal ramo superiore del luogo
• nella terza regione (delimitata dal semi-asse verticale positivo e dal semi-asse orizzontale negativo)
• nella quarta regione (delimitata dal semi-asse orizzontale negativo e dal ramo inferiore del luogo
• nella quinta regione (delimitata dal semi-asse verticale negativo e dal ramo inferiore del luogo
• e infine, nella sesta regione (delimitata dal semi-asse orizzontale positivo e dal semi-asse verticale negativo),
Nel testo abbiamo definito sentiero di crescita bilanciata una situazione nella quale h e k crescono a saggio costante positivo e abbiamo trovato che lungo un tal sentiero
dove u è una costante endogenamente determinata e strettamente compresa tra zero e uno. Ricercare un simile sentiero equivale ad individuare l’espressione di una retta del tipo:
costante per ogni t, β > 0 Lungo una simile retta, infatti, si verifica che
e h e k tendono a ± ∞ quando t → ∞ Una generica retta di questo tipo è stata inserita (con linea tratteggiata) nel diagramma di fase di Figura A.1. Si noti che tale retta deve necessariamente passare per le regioni II e V del diagramma di fase in quanto solo in queste due regioni i tassi di crescita di h e k sono simultaneamente positivi. Infine, poiché nella regione V i possibili valori che h e k possono assumere sono assolutamente implausibili (essendo negativi!), in termini grafici il balanced growth path equilibrium (BGPE) coincide con il luogo dei punti h= β *k contenuto nella seconda regione del piano del diagramma di fase. Nel modello teorico abbiamo determinato univocamente la pendenza di questa retta (il coefficiente costante β ) e più in particolare abbiamo trovato che in equilibrio: [25]
A riprova del fatto che il sentiero di crescita bilanciata del nostro modello (la retta h= β *k ) debba passare per la regione II del diagramma di fase, si noti che per ogni
la pendenza di quest’ultima retta è maggiore della pendenza della retta che rappresenta il luogo dei punti per cui
valendo la restrizione sui parametri riportata in equazione (14).
Figura A.1
Il diagramma di fase relativo al sistema dinamico presentato nel modello
[25] In equilibrio, u assume il valore costante riportato nell’equazione (11).
Documento del Prof. Alberto Bucci e del Prof. Daniele Checchi
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