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difficoltà: Consigliato a tutti

Titolo È la matematica, bellezza! John Nash e la teoria dei giochi
Autore Siegfried Tom
Dati 2010, 276 p., brossura

Editore Bollati Boringhieri

tom

Rubrica "Appunti & Disappunti" di Maurizio Zuzzaro

 

Tom Siegfried è la matematica bellezza

John Nash e la teoria dei giochi - Autore TomSiegfried

A prima vista sembrerebbe un testo per matematici, in realtà è decisamente più orientato verso l’economia e alla psicologia che alla matematica. In questo testo non è solo presentata una metodologia innovativa nel cercare un punto di equilibrio e progettare la miglior strategia in situazioni complesse nell’ambito collettivo umano, ma racconta la storia di uomini geniali. A partire da  Neumann a Steven Quartz, vengono presentate decine e decine di ricerche che cercano di dare una spiegazione scientifica al comportamento dell' uomo. L’autore è un divulgatore scientifico capace e appassionante e nella sua carriera di free-lance ha ottenuto diversi riconoscimenti prestigiosi.

Le origini

La storia “dei giochi” ebbe origine dai tentativi di comprendere giochi di società quali il poker e gli scacchi. Venne formulata in seguito in modo completo per la prima volta come strumento matematico per descrivere il comportamento economico. Pioniere in questo campo fu John von Neumann, nato a Budapest, 28 dicembre 1903 morto a Washington, 8 febbraio 1957  è stato un matematico e informatico ungherese naturalizzato statunitense per via della persecuzione ebraica. Von Neumann fu una delle personalità scientifiche preminenti del XX secolo.

La teoria dei giochi si applica a qualsiasi situazione in cui si applica una interazione strategica. Ad esempio gli economisti continuano ad usare la teoria dei giochi per analizzare le scelte delle persone in relazione al denaro.  I biologi le applicano a scenari che spiegano la sopravvivenza del più adatto o l’origine dell’altruismo
In presenza di un numero sufficiente di persone le leggi dell’ interazione umana producono configurazioni prevedibili, esattamente come le interazioni e il movimento delle molecole determinano la temperatura e la pressione di un gas. Descrivere le persone come se fossero molecole è proprio ciò che fanno molti fisici oggi. In effetti prendono la temperatura della società.

Quando un chimico prevede come  reagiranno le molecole in una provetta, le molecole non ne sono consapevoli e hanno un identico comportamento indipendentemente dal fatto che il chimico le preveda o meno. Nelle scienze sociali invece, le persone manifestano molta più indipendenza rispetto alle molecole. In particolare se sanno che cosa si prevede che faranno, possono comportarsi in modo diverso proprio per contrariare chi ha formulato la previsione. Più realisticamente, una volta nota la previsione, certe persone possono cercare di trarre un vantaggio, ribaltando le condizioni che hanno portato alla previsione e inserendo in tal modo fattori casuali nel risultato.

La geniale intuizione di von Neumann, in sostanza era questa:  in un gioco a somma zero a due giocatori, si può sempre trovare una strategia migliore, ma in molti casi la strategia migliore è una strategia mista. Ne segue che ogni giocatore deve sempre tenere l’avversario sulla corda. E’ per  questo motivo che la teoria dei giochi si riduce all’esigenza di bluffare quando si gioca a poker: se un giocatore rilanciasse sempre quando gli vengono servite delle buone carte e non rilanciasse mai quando non sono buone, gli avversari sarebbero in grado di capire le sue carte.

Un grande passo avanti nella ricerca della teoria dei giochi la portò John Nash. Nash ha rivoluzionato l'economia con i suoi studi di matematica applicata alla "Teoria dei giochi", vincendo il premio Nobel per l'economia nel 1994. Nash ha vissuto per circa trenta anni tra i successi scientifici ed accademici e la malattia mentale. Durante la brillante attività scientifica in istituti universitari prestigiosi (come quello di Princeton) oppure in società come la RAND Corporation, dove insieme a logici, matematici, fisici e ingegneri esperti di teoria dei giochi, lavorò per il governo alle strategie politiche e militari della guerra fredda. Dovette convivere con la schizofrenia che spesso e per lunghi periodi nell'arco di trent'anni ne offuscò l'intelligenza e la creatività isolandolo emotivamente dal mondo esterno.

L’ equilibrio di Nash

La contrattazione rappresenta una forma diversa di teoria dei giochi in cui i giocatori hanno alcuni interessi in comune. A differenza dei giochi a somma zero a due giocatori, in cui il vincitore guadagna ciò che il vinto perde, una contrattazione che offre possibili benefici da entrambi le parti. Nell’articolo sulla contrattazione, Nash discusse la situazione in cui i giocatori hanno più di un modo per ottenere un vantaggio reciproco, fornendo una mappa matematica per individuare l’accordo ottimo, quello che rappresenta l’affare migliore per entrambi. Questo equilibrio finì per diventare il pilastro più rilevante della teoria dei giochi.
L’idea di equilibrio ha ovviamente  un’importanza straordinaria in molti settori della scienza. Equilibrio significa stabilità e la stabilità si dimostra un’idea essenziale per comprendere molti processi naturali. I sistemi biologici, i sistemi chimici e fisici persino i sistemi sociali ricercano tutti un equilibrio. Perciò capire come si raggiunge la stabilità è spesso la chiave per prevedere il futuro. Se una situazione è instabile, come capita di frequente, possiamo prevedere il corso futuro degli eventi se riusciamo a capire cosa deve accadere per raggiungere la stabilità. Comprendere la stabilità è un modo per comprendere come andranno le cose.

Il dilemma del prigioniero.

La polizia ha prove sufficienti per dichiarare due malviventi colpevoli di un reato minore, ma per poterli  accusare di rapina a mano armata ha bisogno che uno dei due tradisca l’altro. Se nessuno dei due parla, saranno condannati entrambi a un anno di prigione, ma se uno dei due acconsente di testimoniare sarà lasciato libero e il socio sarà condannato a 5 anni di reclusione. Se cantano tutti e due, saranno condannati entrambi a 3 anni di reclusione

 

ALICE

BOB

 

Non Tradisce

Tradisce

Non tradisce

1,1

5,0

Tradisce

0,5

3,3

Anni di prigione per Bob e Alice

Ironicamente, ed è per questo che è un dilemma, nel complesso andrebbe meglio a entrambi se decidessero tutt’è due di tenere la bocca chiusa. Ma vengono interrogati separatamente e non possono comunicare in nessun modo.

Robert Axelrod dell’università del Michigan concepì il dilemma del prigioniero sottoforma di programma. La strategia vincente fu la più semplice un approccio imitativo chiamato “tit for tat” (pan per focaccia). Se l’avversario coopera il giocatore continua a cooperare, ma se l’avversario defeziona defezionerà anche lui al giro successivo. Tuttavia per una popolazione reale si può dimostrare che una strategia “pan per focaccia” in certe circostanze, può non riuscire a diffondersi all’interno di una popolazione composta solo da defezionisti.  La tendenza sarebbe quella di ridurre la cooperazione. Al contrario una strategia “pan per focaccia generosa” (coopero ogni volta che tu cooperi, e a volte coopero anche quando tu hai deflazionato) permette di correggere i vari errori accidentali, e via via che il gioco procede l’approccio pan per focaccia generoso viene sostituito da una strategia di cooperazione totale. Questo dimostra anche che cooperare sempre non è una strategia stabile.

Può darsi che le single persone non seguano sempre la teoria dei giochi nei modi previsti, ma gli animali invece lo fanno e nel loro codice della natura è davvero la legge della giungla.

Le anatre di Cambridge

Un esperimento reale tenuto da David Harper dell’università di Cambridge: Harper voleva scoprire quanto potessero essere abili le anatre nel massimizzare le quantità di cibo. Preparò quindi una gran quantità di pezzettini di pane bianco esattamente dello stesso peso e ingaggiò un aiutante per il lancio. Iniziarono a lanciare il pane in due zone distinte del laghetto. In una, il lanciatore distribuiva un pezzetto di pane ogni 5 secondi; nell’altra, il ritmo era più lento e arrivava  un pezzetto di pane ogni 10 secondi. La questione scientifica era: se sei un’anatra, che cosa fai ? Ti dirigi verso la zona del lanciatore veloce o di quello lento ? Non è facile rispondere. Forse il primo pensiero sarebbe di scegliere il lanciatore più veloce. Ma anche le altre anatre potrebbero aver scelto la stessa cosa. Quindi otterrò più pane se scelgo l’altro lanciatore, giusto ? Ma probabilmente non sono l’unica anatra ad averlo capito. Quindi la scelta migliore non è così ovvia per rispondere è necessario calcolare l’equilibrio di Nash. Il calcolo è piuttosto semplice, tutte le anatre raggiungono il miglior risultato possibile se un terzo di loro si mette davanti al lanciatore lento e due terzi davanti al lanciatore veloce
Indovinate un po’ : le anatre impiegarono circa un minuto a capirlo poi si divisero in due gruppi delle dimensioni previste da Nash.

La caratteristica essenziale tanto delle equazioni di von Neumann tanto quelle di Nash è che sono necessarie strategie miste per ottenere il massimo guadagno. E’ raro che la mossa migliore sia regolarmente un’unica strategia “pura”. Di solito la strategia migliore consiste nello scegliere un certo insieme di alternative possibili, con una specifica probabilità per ciascuna alternativa.

La razionalità presenta due inconvenienti:  e’ difficile decidere che cosa significhi essere razionale e in ogni caso le persone non si comportano razionalmente. Di conseguenza la teoria dei giochi è più facilmente applicabile in biologia che nelle scienze umane. Per illustrare questa intuizione, Maynard Smith inventò un gioco semplice, ma intelligente, di lotta tra animali. Noto come il gioco del falco e della colomba.

Questo gioco spiega perché una sola strategia non può produrre una popolazione stabile. Immaginiamo un mondo popolato unicamente da uccelli capaci di comportarsi come falchi aggressivi (sempre pronti a lottare per il cibo) sia come pacifiche e passive colombe. Supponiamo ora che tutti questi uccelli decidano che  comportarsi da falchi sia la strategia migliore per sopravvivere. Combatteranno per il cibo ma solo il migliore mangerà,  chi perde si curerà delle ferite, patirà la fame e forse morirà. Ma anche il vincitore può subire qualche danno pagando il prezzo che riduce i benefici di essersi guadagnato qualcosa da mangiare. Supponiamo ora che uno di questi uccelli che si comporta da falco decida che tutto questo combattere è da imbecilli e inizi a comportarsi da colomba, se arriva un falco la colomba vola via, salterà qualche pasto ma non resterà ferito. Immaginiamo ora che qualche altro falco si comporti da colomba condividendo il cibo, mentre i falchi si fanno a pezzi l’un l’altro.

Di conseguenza osservo Maynard, una popolazione completamente di falchi non è una strategia evoluzionistica stabile. Una società di falchi può essere invasa dalle colombe. D’altra parte nemmeno una società di colombe è stabile, il primo falco che arriva non avrà difficoltà a cibarsi. Qual è la strategia migliore ? Falco o Colomba ? Dipende dalla percentuale di falchi nella popolazione, se sono la maggioranza meglio adottare un comportamento da colomba.

 

Uccello 1

Uccello 1

 

Falco

Colomba

Falco

-2,-2

2,0

Colomba

0,2

1,1

Neuroeconomia
Benché nessuno lo avesse previsto alla fine degli anni novanta, la teoria dei giochi ha dimostrato di essere lo strumento matematico giusto per unire le neuroscienze e l’economia in una nuova disciplina ibrida nota con il nome di neuro economia.
L’esplorazione della teoria dei giochi dal punto di vista sperimentale, tuttavia ha dimostrato, che le persone non sempre si comportano così. Dagli esperimenti risulta che il denaro non è tutto, in fin dei conti. E che le persone non sono completamente razionali. Di fatto, oggi sembra probabile che il cervello misuri l’utilità non in euro, ma in dopamina.

Un esperimento importante che ha portato su questa strada è stato promosso da Sanfey dell’ università di Princeton. Assomiglia ad un gioco televisivo, le regole sono queste:  ci danno del denaro, noi ne offriamo una parte ad uno sconosciuto e teniamo il resto per noi, a patto che l’altro non rifiuti la nostra offerta . In questo caso dobbiamo restituire i nostri soldi e nessuno vince alcunché.In teoria l’altro dovrebbe accettare qualsiasi offerta , per quanto piccola, perché poco è meglio di nulla. In pratica però la maggior parte degli sconosciuti rifiuta le offerte basse al di sotto del 40/50 % dimostrando che l’essere umano è prevalentemente emozionale e non razionale.

L’ossitocina è collegata alla felicità e i paesi in cui le persone dichiarano di essere molto felici sono paesi in cui le persone dichiarano anche di essere molto fiduciose. I livelli di fiducia, a loro volta sono un buon indicatore del benessere economico di un paese. Secondo Zak, la fiducia è l’elemento più collegato alla crescita economica che gli economisti abbiano mai trovato.

“una delle sorprese degli ultimi anni è il fatto che stiamo scoprendo che il cervello è cablato per il cambiamento ha detto qualche anno fa Ira Black della Robert Wood Johnson Medical School. Abbiamo imparato che l’ambiente può avere accesso ai geni e modificarne l’attività all’interno del cervello. L’ereditarietà cabla effettivamente alcune predisposizioni nel cervello, senza dubbio, ma è uno sbaglio credere che l’esperienza debba in qualche modo sfidare il cablaggio genetico a creare la capacità di cambiare la propria esperienza. “ siamo flessibili a causa e non a dispetto dei nostri geni” dichiarano i neuro scienziati Steven Quartz e terence Sejonwski […] la nostra esperienza con il mondo altera la struttura, la chimica e l’espansione genetica del nostro cervello, spesso in maniera profonda, nel corso di tutta una vita.

Il gioco della Minoranza

Molte situazioni semplici si possono dimostrare troppo complicate per un calcolo completo, come attesta il problema dell’ innocua scelta se passare il venerdì sera in un bar o starsene a casa, reso famoso dall’economista del santa Fe Institute Brian Artur nei primi anni novanta. Il Bar El Farol di Santa Fe era diventato così popolare che a causa della gran folla non era più un posto piacevole dove andare. Artur interpretò la situazione di El Farol come un problema di quante persone andranno al bar, ma suppongo che tutti desiderino andare a meno che non siano troppe le persone che prendono questa decisione. Se si supera un certo livello di presenze, non è divertente. Tale situazione può essere rappresentata da un gioco in cui i vincitori sono quelli che compongono la minoranza. Nel 1997, Damien Challet e Yi Cheng Zazng hanno sviluppato nei dettagli le equazioni per il problema di El Farol, sotto la forma di un gioco che hanno chiamato gioco della minoranza. Da allora questo gioco è stata una delle strutture preferite da molti fisici per trattare problemi economici e sociali.
Altri lavori sul gioco della minoranza hanno mostrato che in alcune circostanze è possibile prevedere quale sarà la scelta della minoranza il prossimo venerdì sera. Dipende da quanti sono i giocatori e da quanto è buona la loro memoria. Quando il numero di giocatori si riduce ( la loro capacità di memoria aumenta) a un certo punto il risultato non sarà più casuale e può essere previsto con qualche grado di confidenza statistica.

Conclusioni

Dal punto di vista della teoria dei giochi esiste un modo abbastanza semplice di considerare la questione: la realtà stessa è una strategia mista. Nella teoria dei giochi, la strategia migliore non è di solito costituita da una o più mosse predeterminate, ma da una mescolanza di strategie, sciente con una particolare probabilità; per esempio la strategia A per il 70% delle volte e la strategia B per il 30 % delle volte. Le strategie miste sono necessarie per ottenere il massimo guadagno. E’ raro che la mossa migliore sia regolarmente una strategia Pura.

Maurizio Zuzzaro

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