L’obiettivo del modello è quello di valutare al tempo t il prezzo di una opzione call di tipo europeo avente scadenza in T, con un prezzo di esercizio pari a K, scritta su un’attività sottostante, tipicamente un’azione, di valore S nell’ambito di un mercato in cui sono presenti oltre ad attività rischiose quali le azioni attività prive di rischio quali i bond, il cui tasso di rendimento risk-free è pari a r.
La bellissima costruzione di Black e Scholes si fonda su alcune ipotesi di base: assenza di costi di transazione e di imposizione fiscale; tasso di interesse privo di rischio costante; distribuzione simmetrica delle informazioni fra gli operatori che implica impossibilità di arbitraggio; possibilità di vendere allo scoperto; non c’è distribuzione di dividendi. A queste ipotesi si aggiunge quella per cui il rendimento dell’attività rischiosa S (il nome ed il valore dell’attività vengono confusi) sia caratterizzato da una duplice componente, una tendenziale ed una aleatoria.
Ne consegue che il rendimento del titolo ∆S/S può essere scomposto in una componente tendenziale µ∆t, dove ∆t esprime l’accrescimento medio nel tempo, ed in una componente aleatoria σdX che assume tanto maggior peso quanto più è grande σ. A variazioni infinitesimali di rendimento corrisponderà una dinamica del prezzo spiegabile come:
dS/S = µ∆t + σdX
dove dX è un movimento browniano standard, un processo stocastico che vanta, tra le altre proprietà, quella per cui E(dX2)=dt.
Dott. Andrea Castiglione
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