Il modello binomiale

Sia C il valore di una call europea iscritta sull’attività S e P il portafoglio "lungo" di una opzione e “corto” di ∆ titoli sottostanti:

Il calcolo di ∆ è fondamentale al fine di rendere P insensibile alle variazioni di S tra t0 e t1, ricordando che δt è l’intervallo temporale fra tra t0 e t1.

I valori corrispondenti ad un rialzo di S si indicheranno con il segno (+), quelli corrispondenti ad un ribasso di S si indicheranno con un segno (-). Affinché non esistano delle possibilità di arbitraggio senza rischio, il rendimento del portafoglio P dovrà essere esattamente pari al tasso risk free R. Conseguentemente, varrà l’equazione:

dove :

Dalla (3) e dalla (4) si deduce C, ovvero il valore dell’opzione in t0:

Rimangono quindi da valutare i valori h e b. Essendo δt l’intervallo temporale fra t0 e t1, µ la media ed σ la varianza dei rendimenti di S per unità di tempo, si avranno le seguenti relazioni:

Utilizzando la (1) si otterrà :

Le equazioni (5), (6) e (7) permettono di ricavare il valore dell’opzione C al tempo t0 dai valori della stessa opzione al tempo t1, t2, …, tn. Ciò è possibile dal momento che, ad ogni istante successivo, il valore del titolo sottostante potrà assumere solo due valori, alto o basso.

Procedendo a ritroso, di nodo in nodo, sarà quindi possibile risalire al valore dell’opzione al tempo t0. In generale, se tn è la data di scadenza dell’opzione, il problema sarà risolto facilmente, giacché il valore della Call in tale data è dato da max(S - K, 0).

L’albero binomiale può essere così rappresentato :

Dott. Andrea Castiglione