Differenziando le equazioni dalla (11) alla (13) rispetto ad s ed n è possibile concludere che:

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Per quanto attiene invece alla relazione che lega rispettivamente u_bp , g_bp e h_bp/ k_bp con α è
possibile dimostrare che valgono i seguenti risultati:

(15)

(16)

(17)

Una dimostrazione formale di questi ultimi tre risultati è contenuta in Bucci-Checchi (2002, Appendice B, pp. 31-34). Nel prossimo paragrafo stimiamo l’equazione (9), che può anche essere riscritta come:

(9')

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Ciò che questa relazione predice è che il livello di attività pro-capite di equilibrio (y_bp) dipende, oltre che da quelle variabili già messe in luce dalla teoria tradizionale della crescita con progresso tecnologico esogeno (e cioè il tasso di crescita della popolazione e il tasso di accumulazione di capitale fisico o saggio di risparmio), anche dal livello pro-capite del capitale umano a disposizione, nonché dal parametro distributivo α [11] Inoltre, mentre il livello di capitale umano a disposizione di ciascun individuo nell’equilibrio di lungo periodo (h_bp) sembra giocare un ruolo univocamente positivo su y_bp , lo stesso non può dirsi per le altre variabili che entrano nell’equazione (9’), ovvero per s , n ed α.[12] Tuttavia si noti che, per dato h_bp > 0

(18)

(19)

(20)

Il risultato riportato nell’equazione (20) è vero a patto che il tasso di crescita della popolazione sia sufficientemente grande, ovvero che valga la condizione:[13]

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Tutti i risultati ottenuti in questa sezione di analisi di statica comparata hanno una chiara interpretazione economica. Se il saggio di risparmio ( s ) aumenta esogenamente (per esempio a causa dell’aumentata incertezza), gli agenti vorranno dedicare una frazione più piccola del capitale umano a propria disposizione ad attività produttive (u si riduce) ed aumentare il proprio investimento in istruzione ( (1 - u) = g aumenta).[14] Ciò, a sua volta, determinerà un incremento del tasso di crescita di equilibrio ( g ), una relativa maggiore abbondanza di capitale umano rispetto a capitale fisico ( h/k aumenta) e una riduzione del livello pro-capite di attività ( y ), dal momento che vengono destinate meno risorse alla produzione del bene di consumo finale. Quest’ultimo risultato risulta chiaro anche guardando all’equazione (4): a parità di capitale fisico pro-capite ( k ) e di n , un aumento esogeno di s deve tradursi in equilibrio in una proporzionale riduzione di y per mantenere costante k (e, quindi, k / k ). Un incremento esogeno del tasso di crescita della popolazione ( n ) determina innanzitutto un incremento di

Il desiderio, con una popolazione che cresce più rapidamente, di mantenere costante la dotazione di capitale fisico di ciascun individuo, indurrà gli agenti a destinare più risorse ad attività produttive (u aumenta) e meno risorse all’istruzione ( (1 - u) = g si riduce ) Il fatto che in questa circostanza il reddito pro-capite aumenti è ancora una volta visibile dall’equazione (4): a parità di capitale fisico pro-capite ( k ) e di saggio di risparmio ( s ), un aumento di n deve tradursi necessariamente in un proporzionale incremento di y per mantenere costanti k& e k/k . Infine, poiché sempre meno risorse sono destinate all’istruzione, il rapporto h /k decresce all’aumentare di n . Da ultimo, un incremento della quota del reddito nazionale che va al capitale fisico (α) in principio rende possibile dedicare meno risorse ad attività produttive (u si riduce) e più risorse all’investimento in capitale umano ( (1 - u) = g aumenta) . Tuttavia, poiché con un più alto a l’investimento in capitale umano è relativamente meno conveniente di quello in capitale fisico, il rapporto relativo tra h e k si riduce. Per dato h , abbiamo trovato che l’impatto di α su y è positivo a patto che n sia sufficientemente grande. Intuitivamente questo risultato si spiega col fatto che con una popolazione che cresce molto rapidamente e con s dato, il livello di attività pro-capite deve aumentare per assicurare a ciascuno la medesima dotazione di capitale fisico.

Una rappresentazione geometrica delle proprietà di questo modello lungo il sentiero di crescita bilanciata è offerta dalla Figura 1. Immaginiamo una riduzione esogena della propensione al risparmio (oppure un aumento del tasso di crescita della forza lavoro), che comporti il passaggio dal punto A al punto B. Secondo l’equazione (11’), questo determinerà un aumento di u (cioè un aumento della quota di tempo destinata alla produzione ed una contestuale riduzione dell’investimento in capitale umano) e contemporaneamente una riduzione del tasso di crescita dell’output g , come si evince dal quadrante nord-est del grafico. Nel quadrante nord-ovest dello stesso grafico riportiamo la relazione tra i valori di equilibrio di y e g. Si noti che l’intercetta orizzontale è pari a

L’incremento di u determina pertanto sia una riduzione di

, sia una contemporanea riduzione dell’intercetta orizzontale della curva che lega y e g nel quadrante di nord-ovest (a parità di k). In effetti, a seguito di questi cambiamenti tale curva trasla verso il basso, mantenendo la medesima intercetta verticale. In conclusione, uno spostamento da A a B nel quadrante di sud-est implica uno spostamento da A’ a B’ nel quadrante di nord-ovest, con un aumento del livello di reddito pro-capite di equilibrio. Questa conclusione emerge sotto l’ipotesi del ceteris paribus su k (il cui valore di steady-state non è possibile determinare). In generale, gli effetti finali di variazioni in s , n o α sul livello di y lungo il sentiero di crescita bilanciata sono ambigui. Proprio per sciogliere questa ambiguità nel prossimo paragrafo ci rivolgiamo all’analisi empirica del modello presentato utilizzando un campione longitudinale (sbilanciato) di paesi.

Figura 1 – Analisi grafica del modello: l’effetto di una riduzione di s (o un aumento di n)

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[10] Parafrasando Jones (1995), potremmo interpretare il presente modello come uno di crescita semi-endogena.

[11] Anche in Mankiw et al. (1992) il livello del reddito pro capite dipende, tra gli altri, dal saggio di accumulazione di capitale umano (la propensione ad investire in scolarizzazione), ma quest’ultima variabile è assunta esogena nel loro modello. Dal punto di vista teorico questa è una importante differenza tra il presente lavoro e il contributo appena citato. Similmente, anche in Romer (2001, cap.3, par. 3.8) e in Jones (1998, cap. 3; 1997b) il livello di equilibrio del prodotto pro capite dipende, tra gli altri, dal livello di capitale umano e dallo stato di equilibrio della tecnologia (assunta crescere ad un saggio esogeno), ma non dal tasso di accumulazione di capitale umano, che nel nostro modello abbiamo endogenizzato e abbiamo trovato essere funzione di s , n ed α .

[12] Infatti, differenziando totalmente y_bp rispetto a queste tre ultime variabili, è facile accertare che i segni di d ( y_bp ) /ds , d ( y_bp ) /dn e d ( y_bp ) /dα ( restano ambigui, dipendendo, tra gli altri, anche dal segno rispettivamente di d ( h_bp ) /ds , d ( h_bp ) /dn e d ( h_bp ) /dα che non conosciamo a priori. Si ricordi, infatti, che nel modello quello che riusciamo a determinare endogenamente è il rapporto di equilibrio tra h e k e non singolarmente il valore assoluto degli stock di capitale umano ( h ) e fisico ( k ). Quest’ultima è una caratteristica peculiare di tutti i modelli di crescita con più di una variabile di stato.

[13] Anche per quest’ultimo risultato il lettore può trovare una dimostrazione formale in Bucci-Checchi (2002, Appendice B, pp. 31-34).

[14] Diversi studi recenti (ad esempio Ehrlich e Lui, 1991 e 1997; Meltzer, 1992 e Kalemli-Ozcan et al., 2000) sottolineano in effetti che all’aumentare dell’aspettativa di vita alla nascita (ovvero del saggio di risparmio) aumenta senza ambiguità l’incentivo ad investire in capitale umano per la semplice ed intuitiva ragione che con un orizzonte di vita più ampio aumenta il periodo di tempo entro il quale l’investimento in scolarizzazione può essere ripagato e può dare i suoi benefici. Per un semplice modello attorno all’interazione tra variabili demografiche, accumulazione di capitale umano e crescita aggregata si veda Bratti et al. (2001).

[15] Alti tassi di crescita della popolazione sono spesso associati (specie nella realtà di molti paesi in via di sviluppo) ad elevati tassi di mortalità. Come Ram e Schultz (1979) hanno mostrato da tempo, un aumento del tasso di mortalità è associato ad una riduzione nell’incentivo ad investire in capitale umano.

Documento del Prof. Alberto Bucci e del Prof. Daniele Checchi

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