Residui non sferici

Abbiamo già discusso il fatto che: esistono 2 motivi (principali) che possono portare a E( ee' )≠ s ² I

- Gli elementi lungo la diagonale principale possono variare;

- Gli altri elementi possono non essere tutti zero.

- Il problema della non-constanza della varianza dell'errore è conosciuto come HETEROSKEDASTICITY

- Il problema delle covarianze non nulle degli errori è conosciuto come AUTOCORRELATION

- Sono problemi differenti che nascono in contesti diversi (dati di natura diversa)

- Le implicazioni per le proprietà degli stimatori OLS sono le stesse

Le cause dell'eteroschedasticità

- E' un problema che si trova in dati cross-section (specialmente dati aggregati);

-L'accuratezza delle misurazioni può differire tra le unità prese in considerazione;

- L'errore può essere proporzionale alla grandezza dell'unità presa in considerazione (esempio GDP).

..abbiamo già visualizzato nel modello bivariato

Le cause dell'autocorrelazione. Nasce nelle time-series

--> E' possibile anche l'autocorrelazione nelle cross section. Si parla allora di correlazione "spaziale" che ha un significato preciso ed è difficile da trattare

- Errori di misurazione (autocorrelati)

- Struttura dinamica

- Forma funzionale errata (non genuina)

..abbiamo già visualizzato nel caso bivariato

Proviamo a generare una serie artificiale autocorrelata

Cosa succede se abbiamo una violazione delle assunzioni sul comportamento dei disturbi?

NB: la matrice ee' non si conforma alle ipotesi classiche

Lo stimatore OLS:

non è coinvolto e continua ad essere lineare - corretto - consistente

La varianza e lo S.E. del coefficiente sono invece coinvolti. Si ricordi che avevamo dimostrato che:

Dobbiamo studiare la matrice var/cov dei beta

Definizione: La matrice Var./Cov. dei beta ha la seguente forma matriciale:

Come possiamo formare gli elementi della matrice? Sappiamo che:

Come possiamo formare gli elementi della matrice? Sappiamo che:

Da cui:

a) non possiamo utilizzare le procedure inferenziali viste fin qua;

b) OLS non è più BLUE;

c) Dobbiamo ricorrere alle procedure GLS che stimano

(ß*)=(X' V - ¹X) - ¹X' V - ¹Y

(che è lo stimatore BLUE del vettore ß vero della popolazione)

Tuttavia V non è conosciuta. La si deve stimare:

Abbiamo a che fare con Feasible Least Squares

NB: Le stime GLS implicano una trasformazione del modello di regressione lineare.

Ne studieremo diverse: Cochrane-Orcutt per il caso dell'autocorrelazione; WLS per il caso dell'eteroschedasticità.

Prof. Paolo Mattana