Il modello multivariato I

Finora:

. Abbiamo trovato uno stimatore per la relazione fra X e Y;

. Abbiamo sviluppato regole decisionali che permettono di usare lo stimatore per "testare" ipotesi sulla relazione tra X e Y ;

. Ma abbiamo sempre preso in considerazione una sola X (ed un solo beta, coefficiente angolare)

. Il mondo è spesso più complicato!!

Cosa succede se Y ha piu' di una "causa"?

L'estensione al caso multivariato è semplice Invece di avere a che fare con lo spazio in due dimensioni dobbiamo considerare lo spazio multi-dimensionale

Se abbiamo X 1 e X 2 , allora stimiamo i parametri di un piano in mezzo ad una nuvola (di punti) tridimensionale. Oltre 3 dimensioni ..non possiamo visualizzare.

L'equazione da stimare diventa (in notazione scalare):

dove le X j sono le variabili indipendenti (o regressori) e i beta sono parametri (sconosciuti) oggetto di stima. La logica OLS è la stessa

NB: qual è ora l'interpretazione dei beta?

Possono essere visti come derivate parziali: misurano cioè l'effetto sulla variabile dipendente di variazioni delle relative variabili indipendenti (ceteris paribus).

NB: Dare le dimostrazioni delle proprietà degli stimatori OLS con questa notazione è inutilmente complicato.

Passaggio alla notazione matriciale Possiamo rappresentare le derivazioni in termini di algebra lineare L'equazione generica da stimare diventa:

dove X 1 è un vettore i cui componenti valgono sempre uno.

In termini scalari abbiamo:

NB :
Stiamo post-moltiplicando perchè, per le proprietà delle matrici, solo così ri-otteniamo il modello in forma scalare

Prof. Paolo Mattana