Introduzione

Molti modelli studiati ed applicati in ambito finanziario non permettono di ricavare soluzioni in forma chiusa e quindi richiedono l’utilizzo di tecniche di tipo numerico per ottenere una soluzione approssimata accettabile. In particolare negli ultimi anni, data anche la crescente complessità computazionale richiesta, si è registrato un aumento dello studio dei metodi numerici. Tra questi un ruolo di grande importanza è ricoperto dai metodi di simulazione Monte Carlo [7].

La denominazione “Monte Carlo” fu coniata, all’inizio della II° guerra mondiale, da J. Von Neumann e S. Ulam mentre lavoravano al progetto Manhattan, presso il centro di ricerche nucleari Los Alamos (New Mexico). Essi si ispirarono, nella scelta del nome Monte Carlo, all’aleatorietà dei guadagni che caratterizza la celebre casa da gioco del principato monegasco. Von Neumann e Ulam utilizzarono la simulazione di numeri casuali per generare i parametri delle equazioni che descrivevano la dinamica delle esplosioni nucleari.

In tal modo era possibile ottenere le soluzioni delle equazioni senza dover inferire i parametri da dati sperimentali. Infatti, il numero di esperimenti necessari per dedurre i parametri dall’osservazione del fenomeno sarebbe stato troppo elevato. Il termine “Monte Carlo Method” viene spesso utilizzato anche come sinonimo di “Simulazione Stocastica”. Dalla descrizione del processo di simulazione Monte Carlo si può dedurre la sua natura sperimentale. Molto spesso in letteratura si definisce il processo di simulazione Monte Carlo come Esperimento Monte Carlo, infatti devono essere indicati tutti gli elementi che ne consentono la replicazione e l’analisi dei risultati.

In quanto tecnica di sperimentazione, lo studio in simulazione Monte Carlo dovrà essere disegnato in modo accurato considerando schemi sperimentali adatti al problema che si sta analizzando. Inoltre, spesso è necessario modificare la simulazione Monte Carlo (standard) introducendo una tecnica di riduzione della varianza che consenta di ottenere risultati più precisi. Va segnalato sin d’ora che le tecniche di riduzione della varianza introducono dipendenza tra le osservazioni simulate: si tratta di un problema generale che interessa la generazione dei numeri casuali, la simulazione di processi stocastici e la riduzione della varianza in particolare.

La presentazione è organizzata nel modo seguente: il paragrafo 2 introduce brevemente la metodologia Monte Carlo, alcune proprietà fondamentali e come tale tecnica viene utilizzata al fine della valutazione delle opzioni finanziarie. I paragrafi 3 e 4 approfondiscono due aspetti fondamentali di tali tecniche: la generazione di numeri casuali, “ingrediente” base di questi approcci, e alcune tecniche di riduzione della varianza al fine di rendere più efficienti tali metodi. Per brevità, si farà soprattutto riferimento al caso multidimensionale, che risulta essere particolarmente interessante ai fini applicativi.

Di R. Casarin & M. Gobbo