Lo schema analitico di riferimento: il modello CIR

La presenza, in letteratura, di una vasta gamma di modelli stocastici per la struttura a termine dei tassi d’interesse, ci pone di fronte al problema della scelta del modello. Ora, partendo dal presupposto di limitarci ai modelli uni-fattoriali (l’utilizzo di modelli multi-fattoriali può essere una seconda risposta alla domanda posta all’inizio di tale lavoro, ma non certo la prima), i due motivi che mi hanno indotto a scegliere il modello CIR sono i seguenti:

· Il modello CIR (Cox, Ingersoll e Ross, 1985a-b) è un modello di Equilibrio Economico Generale che, in quanto tale, ci consente di costruire il prezzo equo (del titolo obbligazionario) da confrontare col relativo prezzo di mercato, e di individuare conseguentemente l’eventuale “disallineamento” (residuo del modello).

E’ per questo motivo, evidentemente, che non è stato scelto un modello di non-arbitraggio: questa categoria ha come propria caratteristica peculiare quella di attribuire al modello una struttura quantitativa e parametrica calibrata in modo tale da renderlo esattamente coerente con la struttura a termine corrente; questo fa si, quindi, che il prezzo del modello coincida sempre col prezzo di mercato, con la conseguente incapacità congenita di fornire un disallineamento da analizzare.

· La determinazione del prezzo scaturisce da una soluzione in forma chiusa; brevemente, presento la struttura analitica del modello: la legge del moto che descrive la dinamica del processo r è definita dalla seguente equazione differenziale stocastica:

dove k(θ - r) è il tasso di drift istantaneo (mean reversion, per k > 0), σ vr è il coefficiente di diffusione e Z è un processo di Wiener standard (processo stocastico ad incrementi stazionari e indipendenti). Dato che tutta l’incertezza dell’economia è riassunta dal tasso istantaneo r, il prezzo di uno zcb (titolo certo) sarà funzione soltanto di r e del tempo:

P = P(r, t; T ) ,

applicando il lemma di Ito a P, si ricava la seguente espressione per il tasso di rendimento istantaneo:

In base alla condizione di non arbitraggio (l’eccesso di rendimento atteso istantaneo dello zcb rispetto al tasso istantaneo privo di rischio r deve essere uguale ad un certo premio per il rischio:) e alla forma del prezzo di mercato del rischio (la forma di Π è ricavata dalla struttura di equilibrio generale sottostante al modello:

;

λ è una sorte di coefficiente per il rischio di mercato) otteniamo l’equazione fondamentale (equazione differenziale stocastica alle derivate parziali di tipo parabolico) per determinare il prezzo d’equilibrio dello zcb:

con condizione terminale: P(r, T, T ) = 1.

La soluzione è:

(1.1.1)

dove: T – τ = t e

con:

Si osservi che, per maturity piccole, e il rendimento alla scadenza si approssima ad r; quando la maturity tende a più infinito, si ha che e il rendimento alla scadenza diviene

Da questa proprietà delle formule (1.1.1)-(1.1.6) emerge come il prezzo stimato dal modello CIR, per un titolo a cedola nulla unitario (cioè, un titolo che a scadenza rimborsa il valore nominale di una lira), possa essere identificato in un fattore di attualizzazione equo: al variare della maturity la formula muta la propria struttura in modo tale da fornire un’attualizzazione equa e adeguata all’arco temporale di attualizzazione.

Questa proprietà ci permetterà di costruire il prezzo equo di un coupon bond partendo dai prezzi equi di discount bond unitari (applicati alle cedole e al valore nominale di rimborso)

Fulvio Pegoraro