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Fibonacci

La Storia

la serie di Fibonacci

Le proprietà matematiche della serie

Ritracciamento di Fibonacci

Fibonacci

Le proprietà matematiche della serie di Fibonacci

Si possono constatare una serie di proprietà e relazioni:

• La somma di due numeri contigui forma il numero successivo della sequenza: 2+3=5; 13+21=34; 89+144=233; etc..

• Il limite che tende ad infinito del rapporto tra il numero e il successivo è uguale a 0,61803.

• Il limite che tende ad infinito del rapporto tra un numero e il suo precedente è uguale a 1,618.

• Il rapporto di un numero per il secondo che lo precede è sempre pari (tendente a) 2,618, che è il quadrato di 1,618.

Serie
Rapporto
x(n)/x(n+1)
1
1
0,500000000000000
2
0,666666666666667
3
0,600000000000000
5
0,625000000000000
8
0,615384615384615
13
0,619047619047619
21
0,617647058823529
34
0,618181818181818
55
0,617977528089888
89
0,618055555555556
144
0,618025751072961
233
0,618037135278515
377
0,618032786885246
610
0,618034447821682
987
0,618033813400125
1597
0,618033963166707
2584
0,618033998521803
4181
0,618033985017358
6765
0,618033990175597
10946
0,618033988205325
17711
0,618033988957902
28657
0,618033988670443
46368
0,618033988780243
75025
0,618033988738303
121393
0,618033988754323
196418
0,618033988748204
317811
0,618033988750541
514229
0,618033988749648
832040
0,618033988749989
1346269
0,618033988749859
2178309
0,618033988749909
3524578
0,618033988749890
5702887
0,618033988749897

• Se dividiamo qualsiasi numero per il secondo che lo precede nella sequenza, otterremo sempre due come risultato, e come resto il numero immediatamente precedente il divisore. Per esempio: 144/55=2 con il resto di 34;

• Escludendo 1 e 2, ogni numero della serie, moltiplicato per 4, fornisce un risultato, che aggiunto ad un numero di una nuova serie, dà un'altra serie di Fibonacci.

Esempio: 3*4=12+1=13 5*4=20+1=21 8*4=32+2=34 13*4=52+3=55 e così via..

Nell'esempio si notano tre serie di Fibonacci, ottenute grazie all'impiego del quattro come fattore. Queste relazioni sono possibili in quanto, il rapporto fra un numero e il terzo precedente, tende al limite a 4,236, dove 0,236 è sia il reciproco, sia la differenza rispetto a 4 (4,236-4). g) se mettiamo a confronto la serie di Fibonacci con una serie di numeri naturali, noteremo che ogni qualvolta in quest'ultima si raggiunge un numero primo, lo stesso accade nella serie di Fibonacci:

Numeri naturali 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Numeri di Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597

• La somma di tutti i numeri della serie di Fibonacci fino ad un punto scelto, più1, è uguale al numero di Fibonacci situato due posti in avanti

Consideriamo la serie di Fibonacci A, B, C, D, E, G...
Se si sommano due o più numeri consecutivi di tale serie, sempre a partire da A, e si aggiunge ulteriormente "1", si ottiene sempre un altro numero di Fibonacci che nella sequenza segue di due posti l'ultimo termine della somma

( A+B+C+1 = E )

Esempi:

1+1+2+3+5+1 = 13

In questo caso si sono sommati i primi cinque numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è ottenuto il settimo numero della sequenza.

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+1=233

In questo caso invece si sono sommati i primi undici numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è ottenuto il tredicesimo numero della sequenza.

• La somma partendo da 1, dei quadrati dei numeri della serie, fino ad un punto qualsiasi, è uguale all'ultimo numero considerato moltiplicato per il successivo:

Esempi:
32+52=34

In questo caso si sono presi il quarto e il quinto numero della sequenza, se ne è fatto il quadrato e la somma fra i quadrati è risultata essere il nono numero di Fibonacci.
82+132= 233

In questo caso si sono presi il sesto e il settimo numero della sequenza e la somma fra i loro quadrati ha dato il tredicesimo numero di Fibonacci.

• Il quadrato di un numero di Fibonacci meno il quadrato del secondo numero precedente è sempre un numero della successione

• Il quadrato di qualsiasi numero della serie è uguale al numero che lo precede, per il numero che lo segue, più o meno 1. Il più o meno si alterna lungo la sequenza

• Il massimo comun divisore di due numeri di Fibonacci è ancora un numero di Fibonacci

Facciamo ora alcune semplici considerazioni di teoria dei numeri. Mostriamo come si determina il massimo comun divisore di due numeri a e b, facenti parte della serie di Fibonacci. Dividiamo a per b ottenendo per quoziente q e per resto r. Ovviamente:

a = bq + r e 0<r<b

Prendiamo come esempio i seguenti numeri di Fibonacci:
6765 = 610 x 11 + 65
610 = 55 x 11 + 5
55 = 5 x 11

Il fatto che il massimo comun divisore di questi due numeri di Fibonacci sia ancora un numero di Fibonacci, il 5, non è pura coincidenza.

• La relazione fra i numeri di Fibonacci ed altri numeri, non meno notevoli, i cosiddetti coefficienti binomiali. Determineremo ora alcune delle leggi che mettono in relazione questi numeri fra loro. Disponiamo i coefficienti binomiali nel seguente schema triangolare, il cosiddetto triangolo di Pascal:

cioè

le linee oblique congiungenti i numeri di questo schema triangolare sono chiamate le diagonali ascendenti del triangolo di Pascal. Esempi di tali diagonali sono appunto le linee passanti per i numeri 1, 4, 3 e 1, 5, 6, 1. Notiamo che la somma dei numeri che si trovano su una data diagonale ascendente è un numero di Fibonacci. Infatti, le prime due diagonali ascendenti del triangolo di Pascal sono formate dal solo numero 1.

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